回归问题本质，碰撞思维火花——以“超越函数的极值估计问题”为例

郭 立

(南京市金陵中学，江苏南京，210000)

《全日制义务教育数学课程标准(2022年版)》中明确地指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”本文以研究“超越函数的极值估计问题”为例，一起探讨如何引领学生进行“自主探究”和“合作交流”.

1 复习回顾，引入问题

在高三复习阶段，我们在函数问题学习时，用导数求极值是其中的基本问题，在函数问题解决中也起到了重要作用，超越函数的极值、最值问题也是高考中常考的内容和难点.

在之前《导数》专题的学习中，我们通过导函数零点来进一步求解函数极值，如果导数零点可求，函数极值易得，如果导数零点不可求，函数的极值一般不可求，下面通过例1来研究超越函数的极值估计问题：

当x∈(0，x0)，f′(x)<0，f(x)单减，当x∈(x0，+∞)，f′(x)>0，f(x)单增.

通过本例可以看到解决超越函数的极值估计有几个关键步骤：

①说明存在极值点x0，确定零点方程f′(x0)=0；

②对f(x0)表达式进行转化；

③结合f(x0)表达式和x0所在区间对极值进行估计.

为了得到f(x0)想要的估计范围，我们需要对x0有对应的估计.理论上，可以将极值大小估算到任意想要的精度.如何把握精度的“度”？粗了无法得到需要的精度，过度精确也没必要，使得运算更复杂，做到“精准打击”.

我们回想一下，为什么要进行极值点代换进行消去超越式化简，因为表达式简单，我们方便研究.可是有时候，我们在对x0更精确估计的时候遇到了困难，比如无法细化了，细化的过程中遇到了计算上的难度，那如何对极值估计有新的手段？

2 补充变式，打破套路

当常用方法不适用时，需要另辟蹊径，除了调整x0所在区间，f(x0)的估计还有一个关键步骤就是转化f(x0)表达式，也可以从这个角度去处理.

将例题和变式两种做法对比一下，让学生自己大胆尝试，不怕犯错，在活动中产生学习经验，更具有课程价值.变式从证明结果来看直接匹配，而且过程更简单，用到的方法是f(x0)化简的时候可以进行局部代换(只代换lnx)，甚至不代换(直接利用原函数f(x)单调性)，也可以完成极值估计.

我们不能被套路“套住”，我们发现超越函数的极值估计问题实际是x0，f′(x0)，f(x0)三者关系的研究，最终本质是函数的取值范围，需要解决两个问题——表达式是什么？变量的范围是什么？这样便得到极值的所在区间.

3 趁热打铁，总结提升

此类问题在高考和模考题中出现过很多次，比如2017年全国高考题中：

分析:先判断存在性，确定x0满足2x0-2-lnx0=0.

证明：由(1)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx，

且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；

当x∈(x0， 1)时，h(x)<0；当x∈(1，+∞)时，h(x)>0，

因为f′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点，

由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1)，故f(x0)=x0(1-x0)，

在2022年南京市二模考试中的21题同样出现了一道超越函数的极值估计的题目，在掌握了以上方法后，这道题的第二问会有很多种方法.

(1) 求函数f(x)的单调区间；

(2) 记函数g(x)在(0，+∞)上的最小值为m，证明：e

解：(1)由f(x)=(x2-x+1)ex-3，得f′(x)=(x2+x)ex.令f′(x)=0，得x=-1或x=0.

当x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)时，f′(x)>0；当x∈(-1，0)时，f′(x)<0.

f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(0，+∞)，单调递减区间为(-1， 0).

所以，在(0，x0)上，f(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)递减；在(x0，+∞)上，f(x)>0，即g′(x)>0，故g(x)递增.

一方面，证明m<3：

(**).

法二：因为g(x)在(0，x0)上递减，且x0∈(1， 2)，所以m=g(x0)

另一方面，证明m>e：

【实际上x0≈1.05，需要将隐零点范围缩小至x0∈(1， 1.377)才能完成解题.

因为x0∈(1， 2)，且函数y=xex在(1， 2)上递增，所以m=x0ex0>e.

这道题做法很多，实际上是因为超越函数的极值估计可操作的部分很多，极值f(x0)的表达式可以怎么转化？极值点x0所在的区间应该怎么调整？而解决这两个问题的前提是要先分析题目中需要证明的范围，做到有的放矢，有效解题，才可以精准打击.

在高三复习课中，一味地灌输、教授，题海战术无法调动学生的积极性，反而会让学生丧失在数学学习中最有意思的一个环节，让学生勇于尝试，在解法“碰壁”中获取学习经验不失为一种更有效的学习方式.