巧用导数知识 破解教学疑点——由一个典型物理错误引发的思考

江苏淮安市洪泽区教师发展中心（223100）程如林

一、问题的由来

在近年某省高考试卷中出现了这样一道物理试题。

［例1］如图1 所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每一根导轨每米长的电阻值为r0=0.10 Ω/m，导轨足够长，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略不计的导线相连，两导轨间的距离l=0.2 m，空间有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数为k=0.02 T·s-1。一电阻不计的金属杆可以在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0 时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0 s时金属杆所受到的安培力大小。

图1

学生的解答普遍如下：

其实，这是错误的！

在当年的高考中，这道题的难度系数为0.077，错误率非常高。造成这一错误的原因是什么呢？

二、问题的剖析

经分析发现，这是由于教师在平时教学中对感应电动势的计算公式没有深入讨论造成的。

在高中物理教材中，法拉第电磁感应定律的数学表达式为E=，教材在给出这一表达式后，仅讨论了“导线切割磁感线时的感应电动势”这一特殊情形，此情形下的感应电动势表达式可简化为E=Blvsinθ，如果导线垂直切割磁感线，则E=Blv，除此之外，教材中未讨论其他情形下感应电动势的表达式。

教师在平时教学中通常会讨论以下两种特殊情形：

在这样的背景下，学生便记住了这两种特殊情形下的公式，并学会了处理这两种特殊情形下的电磁感应问题。

而本题的情形是磁感应强度B和面积S均发生了变化，这时如何计算感应电动势呢？

由于教师平时没有深入讨论，学生也就不清楚如何计算，所以，当年遇到这种情形时，绝大多数学生在计算电动势时就套用了公式E=Blv，结果当然是错的。

这是一个沉痛的教训，值得我们深刻记取。

那么，在平时的教学中，教师应该怎样破解这一教学疑点呢？

三、问题的破解

其实，应用导数知识，问题便迎刃而解了，具体分析如下：

因为，瞬时电动势E而Φ=BS（其中B，S均为变量）。

由导数公式可得：

这就是B，S均发生变化时感应电动势的一般计算公式，这是一个推广公式。

不难发现，等式右边有两项，教师应对这两项的物理意义做进一步的解释。

第一项是由于运动（即S变化）而产生的电动势，叫作动生电动势，第二项是由于磁场变化（即B变化）而产生的电动势，叫作感生电动势，总的感应电动势是这两个电动势的代数和。

至此，可得到上述试题的正确解法如下：

综合以上各式求解得F=1.44 × 10-3N

这才是正确的解答。至此，学生终于对这个问题有了清晰的认识。

四、问题的拓展

为了强化相关内容的教学，教师还可对这道题进行拓展，具体如下。

［例2］如图2 所示，直角形金属导轨APQ固定在水平桌面上，导轨每米长的电阻值为r0=0.10 Ω/m，导轨足够长，空间有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数为k=0.02 T·s-1。两个电阻不计的金属杆CD、EF可以在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中，金属杆CD保持与导轨PQ垂直，金属杆EF保持与导轨AP垂直，金属杆足够长。在t=0 时刻，金属杆CD紧靠金属导轨AP，金属杆EF紧靠金属导轨PQ，在外力作用下，金属杆EF以恒定加速度a1=0.3 m·s-2从静止开始向左滑动，金属杆CD以恒定加速度a2=0.2 m·s-2从静止开始向下滑动，已知金属杆与金属杆之间、金属杆与导轨之间接触良好，求在t=1.0 s时金属杆EF所受到的安培力的大小。

图2

分析：在本例中，有三个因素对感应电动势有影响，分别是磁感应强度随时间变化、金属杆EF水平向左运动、金属杆CD竖直向下运动，即存在三个变量，这时怎么计算感应电动势呢？

此式即存在三个变量时的感应电动势的计算公式。

综合以上各式求得：F=1.2 × 10-4N

五、问题的质疑

质疑1：在例1 中，总电动势的计算公式是E=Blv+Sk；在例2 中，总电动势的计算公式是E=Bl1v1+Bl2v2+Sk，在这两种情形下，等号右边各项都是大小相加的，这样计算有没有问题呢？

下面进行探讨：

对例1，不妨假设磁场方向是垂直纸面向外的，则由右手定则可知，由于金属杆运动而产生的动生电流的方向是沿杆向上的，在回路中是顺时针方向的；再由楞次定律可知，由于磁场变化而产生的感生电流的方向也是顺时针方向的。可见，两者方向是一致的，如果取顺时针方向为正方向，则等号右边各项均取正值，而且是大小相加的。

对例2，同理分析可知，等号右边各项也应是大小相加的。

结论1：对例1 和例2，关于总电动势的计算公式，等号右边各项是大小相加的，这样计算没有问题。

质疑2：是否在任何情况下，等号右边各项都是大小相加的呢？下面通过例3进行探讨。

［例3］如图3 所示，直角形金属导轨APQ固定在水平桌面上，导轨每米长的电阻值为r0=0.10 Ω/m，导轨足够长，空间有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数为k=0.02 T·s-1。两个电阻不计的金属杆CD，EF可以在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中，金属杆CD保持与导轨PQ垂直，金属杆EF保持与导轨AP垂直，已知金属杆EF向右匀速运动，速度大小为v1=0.3 m/s，金属杆CD向上匀速运动，速度大小为v2=0.2 m/s，在t=1.0 s时，l1=0.1 m，l2=0.15 m，已知金属杆与金属杆之间、金属杆与导轨之间接触良好，求t=1.0 s 时金属杆EF所受到的安培力大小。

图3

分析：在本例中，存在三个变量，即有如下三个因素影响感应电动势。

金属杆EF水平向右运动，由此产生的动生电动势：E1=

金属杆CD竖直向上运动，由此产生的动生电动势：E2=

磁感应强度随时间变化，由此产生的感生电动势：E3=

这时总感应电动势应该怎样计算呢？

不妨假设磁场方向是垂直纸面向外的，分别考虑上述三个因素产生的感应电流方向。

因金属杆EF水平向右运动，由右手定则可知，产生的动生电流方向沿杆向下，对回路来说，是逆时针方向。

因金属杆CD竖直向上运动，由右手定则可知，产生的动生电流方向沿杆向右，对回路来说，是逆时针方向。

因磁感应强度随时间变化，由楞次定律可知，产生的感生电流方向是顺时针方向。

因此，若取逆时针方向为正方向，则总电动势为：E=Bl1v1+Bl2v2-Sk

这就是例3中总感应电动势的计算公式。

综合以上各式求得F=7.2 × 10-5N

结论2：通过例3的分析可知，对由多个因素引起的电磁感应现象，关于总感应电动势的计算公式，等号右边各项是相加还是相减或是混合加减，这个问题要分别运用右手定则和楞次定律对各个因素引起的感应电流方向进行判断，再综合判断等号右边各项是相加还是相减或是混合加减。在本文列举的例1和例2中，经判断是各项大小相加；在例3中，经判断是各项大小混合加减。

六、问题的反思

教师在平时教学中，对新的物理规律，不能只是简单交代一下物理公式就开始进行习题训练，而应加强对物理公式的深入讨论，弄清公式的来龙去脉，搞清公式的推导过程，对一些有疑惑而又必须进行拓展和推广的公式，要展开讨论，要通过各种方法让学生深刻理解物理公式，让学生在理解的基础上记住公式。只有这样，学生才能准确运用公式。

导数是非常重要的数学知识，在大学物理中导数有着非常广泛的应用。在新课程背景下，导数已被编入高中数学教材，而且属于主干知识，教材中专门编有一章内容“导数及应用”，介绍导数的基本概念、计算公式及实际应用，其中包括许多用导数知识处理物理问题的案例。有了高中数学中的导数知识做基础，在高中物理教学中，教师便可以用导数知识处理物理问题，这符合新课程的教学理念。