单元整体教学设计研究——以“全等三角形”教学为例

江苏省镇江实验学校（212000）章再俊

对数学单元整体教学理论及模式的探讨已成为近年教师讨论的热点话题，该教学模式旨在落实发展学生学科核心素养的培养目标。笔者积极尝试运用该教学模式提高课堂教学效率与发展学生的学科核心素养。本文以苏教版八年级上册“全等三角形”的单元整体教学为例进行探究。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型可从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律；等等。

数学单元整体教学是在整体思维指导下，以教材知识体系为基础，通过教学团队的合作，对相关教材内容进行适当统筹重组与优化，并将优化后的教学内容作为一个个相对独立的教学单元，突出知识间的关联和知识的循环理解及运用，突出对数学思想的理解总结，从而达到发展学生学科核心素养的目的。

一、感悟活动，了解模型

教师在设计单元整体教学时，应在常规教学的基础上，设置相应问题，向学生逐步渗透主要的模型，如：有公共边的两个全等三角形如何重合？有公共角的两个全等三角形如何重合？有三个角相等的两个全等三角形如何重合？

比如，如图1，若△ABC≌△DEF，沿着对应边BC与EF所在直线相向平移。

图1

问题1：这两个三角形如何通过几何变换实现重合？

问题2：你能从平移、翻折、旋转的角度具体描述几何变换的过程吗？

问题3（在问题2 的基础上继续提问）：如图2，若BC与EF所在的边不共线，没有公共点，这两个三角形如何通过几何变换实现重合？

图2

又如，如图3 和图4，若△ABC≌△AEF，公共点为A。

图3

图4

问题1：这两个三角形如何通过几何变换实现重合？

问题2：你能从平移、翻折、旋转的角度具体描述几何变换的过程吗？

问题3（在问题2 的基础上继续提问）：若△AEF是由△ABC绕着点A旋转60°得到的，给出△ABC你能画出△AEF吗？

问题4（在问题3 的基础上继续提问）：你能求出线段BC与EF所在的直线的夹角吗？

通过思考及解决以上问题可让学生对这些模型有一个初步的了解。

二、操作活动，理解模型

教师在设计本单元整体教学时，可以让学生剪两个全等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，设计的问题可围绕：将有公共边的两个全等三角形进行重合实验；将有公共角的两个全等三角形进行重合实验；将一条直线上有三个角相等的两个全等三角形进行重合实验。

比如，如图5，若△ABC≌△AEF，∠A为公共角。

图5

问题1：如何操作可使这两个三角形重合？

问题2：这两个三角形在重合实验过程中是关于哪条线翻折的？

问题3：你还发现了哪些三角形是全等的？

又如，若△ABC与△DEF，满足∠B=∠E，AB=DE，AC=DF（边边角结构，形状不确定）。

问题1：这种情况合理吗？

问题2：如果不能确定是否全等，大家能画出相应的图形吗？（学生作出图6和图7）

图6

图7

问题3：三组角相等能确定三角形全等吗？

问题拓展：你能用直尺与圆规画“边边角”不全等的三角形吗？

教师引导学生说出两个三角形具体经过几步能够重合，尝试把中间的每一步变换的情况画出来或演示出来。

三、探究活动，深化模型

（一）设计问题串，促进新知生成

比如，如图8 所示是两个全等的锐角△ABC与△AEF。

图8

问题1：你能在图上画出对称轴吗？

问题2：图上有几组全等三角形？

问题3：将其中一个三角形绕公共A点旋转60°，分别连上对应点，图中存在几个等边三角形？

问题4（在问题3 的基础上继续提问）：两组对应点连线的夹角是多少？

问题5（在学生学习相似三角形时继续提问）：图中有相似三角形吗？若有，请证明。

（二）探究单元整体教学涉及的常见模型

关于一条边重合的两个全等三角形：探究关于这条边所在直线翻折、探究关于这条边的中垂线翻折、探究关于这条边的中点旋转180°。

关于一个角重合的两个全等三角形：探究关于这个角的角平分线翻折、探究关于角的顶点旋转。

关于两个相等的角共线的两个全等三角形：探究一线三角的关系及这两个三角形经过怎样的操作重合。

“一线三等角”模型的探究：

例如，如图9，点C为线段AB上的一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN与MC交于点E，直线BM与CN交于点F。

图9

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形。

问题1：图中还有哪些特殊的三角形？

问题2：图中的全等三角形有哪几组？

拓展问题：若AN与BM的交点为O，则AN与BM的夹角∠MON的度数是多少？

追问：△OFN与△CFB全等吗？

探究1：求△CMN的外接圆半径的最小值。

探究2：△ACM，△CBN是等边三角形，AB长度确定，点C是动点，如何求△CMN的面积的最值？

“共顶点双子型”模型的综合探究：

例如，如图10，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF。

图10

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。

变式1：如图11，已知△ABC，以AB，BC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD。证明AE=CD。

图11

变式2：如图12，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE。连接BE，CD。BE与CD有什么数量关系？简单说明理由。

图12

在变式2的探究中，可以设计如下小问题：

（1）设CD与BE的交点为O，图中的全等三角形有哪几组？CD与BE的夹角度数是多少？

（2）如何判断OA是∠DOE的角平分线？（可通过等面积法，判断OA为∠DOE的角平分线）

（3）如图13，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长。

图13

全等三角形的分类还有很多，这里不再一一列举。

教师在渗透模型思想时，需思考模型构造的特征及其合理性，设计引导学生探究的环节。

四、师生互动，生长模型

在教学过程中，学生既是教学的对象，又是学习的主体，无论是获取知识还是提高能力，都要学生通过自身的积极思考和实际活动，而他们学习的主动性和质量都有赖于教师的指导，教师的教也只有通过调动学生的学习主动性，才能取得较好的效果。

在本单元整体教学设计时，教师在认真研读教材、思考学生认知结构的基础上，不仅要判断学生按教材学习时产生的阶段性困难，还要判断本单元对学生后续学习的影响，探究学生产生困难的原因，从而处理学生产生的认知困难、应用困难。

例如，部分学生对“一线三等角的两个三角形全等或相似”的结构认识有困难，对此，在学习全等三角形时，教师可以引导学生剪两个直角三角形，把它们相等的一组边设计为共线。然后再提问：你能说出图14中两个三角形的关系吗？

图14

设计情境复杂的探究题（在直角坐标系中探讨双子型模型）：如图15，直线AB交x轴于点A(4,0)，交y轴于点B(0,4)。

图15

问题1：若点C的坐标为(-1,0)，且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标。

问题2：在问题（1）的条件下，连接OH，求证：∠OHP=45°。

问题3：若点D为AB的中点，点M为y轴负半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴负半轴上运动的过程中，式子S△BDM-S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，则直接写出该式子的值的变化范围；若不改变，则直接写出该式子的值。

在问题1的探究中，可设计如下小问题：

（1）若△OBC绕点O旋转60°，∠CHA还是90°吗？

（2）你能画出相应的图形吗？

（3）对应边所在直线的夹角与什么有关？

在问题3的探究中，可设计如下小问题：

（1）连接OD，分别作x轴与y轴的垂线段，点D处有多个直角，你能围绕点D，发现全等三角形吗？

（2）你能描述双子型全等模型的特点吗？

综合探究：辅助线作法之“截长补短法”。

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条线段相等。

补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等。

比如，如图16，已知AD∥BC，AE，BE分别平分∠DAB和∠ABC，点E在CD上。

图16

求证：AB=AD+BC。

教师可设计这样的问题：

（1）你打算用什么方法解决本题？（截长补短法）

（2）如何补呢？（延长AE与BC的延长线相交于点F，证明△ADE与△FCE全等，△BEA与△BEF全等）

（3）还可以怎么补？（延长BE与AD的延长线相交于点F，证明△BCE与△FDE全等、△AEB与△AEF全等）

（4）如何截呢？（在AB上截取AF=AD，证明BF=BC，证明△AED与△AEF全等、△BEC与△BEF全等）

（5）还可以怎么截呢？（在AB上截取BF=BC，证明AF=AD，证明△BEF与△BEC全等、△AED与△AEF全等）

还可以进一步在动态几何中探究全等三角形。

在师生共同探究的过程中，学生能感悟模型的变化过程。通过图形的运动，以及运用演绎推理法给出证明，将合情推理与演绎推理相结合，可促使学生发现三角形全等与相似的本质。

总之，教师必须要加强对基于数学模型思想的单元整体教学设计的深度探究，通过不断重组教学内容与优化教学设计，构建新的更加突出知识间的关联和知识的循环理解及运用的单元教学内容，帮助学生理解和领悟，掌握新知、习得技能，从而有效实现课堂教学目标，让数学学科核心素养落地开花结果。