HPM融入导数教学的研究

2022-10-10江苏苏州市吴县中学215000江佳慧

中学教学参考 2022年17期

关键词：平均速度变化率微积分

江苏苏州市吴县中学（215000）江佳慧

一、研究的目的和意义

第一，学习导数能够丰富学生解决问题的方法，锻炼学生思考问题的能力。

在解答导数相关问题时，学生需要灵活运用各种解题方法，全面掌握导数的所有知识点。在学习导数时，学生要转变原有的数学观，从不变到变化、从有限到无限、从静态到动态、从常量到变量。

第二，微积分中包含极限思想、函数思想和数形结合思想等。在高中阶段教授微积分可以锻炼学生的探索意识和思维能力，提高学生解决问题的能力。

研究我国教育史可以发现，数学教学内容有限，发展十分缓慢。起初只教授算术，之后才在中学教材中逐步添加几何、代数、数列和不等式等内容，微积分这一部分知识在很长一段时间里都没有被添加到高中教材中，高考也未涉及，只有一些学有余力的、有兴趣、有天赋的学生把微积分作为数学学科竞赛的参考资料去学习。这主要是因为部分研究学者认为，微积分中的思想方法对于高中生来说是难以接受的，提早让他们接触这一部分内容会让他们心有余而力不足，逐渐失去探究解决数学问题的兴趣。但是，随着我国义务教育的全面普及，学生学习能力的提高，学习资源与学习环境的逐步优化，导数作为微积分的一部分基础知识被纳入教学大纲，成为高中数学选修教材内容中的一部分，目的是做好高中数学导数与高等数学微积分的衔接，锻炼学生探索的意识，提高学生探究问题和解决问题的积极性，优化学生解决问题的方法。

第三，从数学文化价值看，可让学生通过自主探索数学的历史发展过程，体会数学的文化内涵，激发学生的民族自豪感。

培养什么人，是教育的首要问题［1］。把立德树人作为学校的立身之本，是时代的要求。

微积分的基础内容导数被写进了高中数学教材，高中生首次接触到新的领域，面对新的数学思想和数学方法，肯定会对它的来历和作用产生疑惑，它是怎么来的？有什么用处？在我国古代，刘徽提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”［2］其中涉及的分割思想、极限思想等都是微积分的雏形。虽然微积分的雏形在我国古代早已出现，但由于我国自古以来都是农业生产国，数学发展进程相比西方较慢。

了解数学史，一方面可以提升学生的民族自豪感、自信心，另一方面可以鼓励学生学好数学，增强学生的爱国主义精神。数学教师不能单纯地教授课本知识，要在课本知识的基础上，延伸数学思想，拓展传播数学文化。

笔者基于HPM 设计高中微积分教学，将数学史和数学问题贯穿整个教学活动，引导学生自主探索、主动学习。

二、导数的概念教学设计

环节一：数学史情境引入

导入：17 世纪，牛顿热衷于研究物体的运动规律，他遇到这样一个运动：一辆马车向前跑，路程s和时间t满足s=t2。

分析：马车1 s走完1 m，2 s走完4 m，3 s走完9 m，速度越来越快，显然是做变速运动，在牛顿之前研究物体的运动规律的数学家能够算出一段时间内的平均速度，例如从第5 秒到第6 秒，小车从25 m处走到36 m处，这段路程的平均速度但牛顿并不满足于算平均速度，他更想知道既然是变速运动，那么速度是如何变化的，也就是每一个时刻的瞬时速度。

问题1：小车在第5秒的瞬时速度是多少？

分析：第5秒经过的时间为0，经过的路程还是0。牛顿将问题看成动态的，从平均速度的原理出发，逐步缩短时间间隔，计算第5 秒到第5.5 秒的平均速度：

问题2：10.5仍是平均速度，这么做有什么意义？

分析：虽然10.5 也不是瞬时速度，但是因为时间间隔缩短了，10.5比11更接近第5秒时的瞬时速度，所以只要不断缩短时间间隔，求出平均速度，就会无限接近第5 秒时的瞬时速度，这就是微积分思想的雏形——无限接近思想。利用这个想法，牛顿最终求出瞬时速度。

活动：计算并观察。

随着时间间隔的缩短，平均速度越来越接近10 m/s。

理论依据：从第5 秒开始，取一个特别小的时间间隔Δt，第5 秒到第(5+Δt)秒这段时间的平均速度因为Δt是一个特别小的数，所以可以将其舍去。

设计意图：引用数学史，激发学生探索的兴趣。引导学生感受牛顿用计算平均速度的方式推导出计算瞬时速度的过程，理解无限接近思想。

环节二：以数学史引出极限概念

情境引入：牛顿的想法公布后，数学家贝克莱指出了其中的问题：将Δt当成一个非常小的量，但不是0，将其放在分母位置，约分后算到(10+Δt)时将其看作0 舍去，但如果Δt不是0，那么就不能舍去；如果是0，则怎么能放在分母位置？这一问题的提出，引发了第二次数学危机。这个问题目前还没有得到完美解决，但不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度，即为微积分思想的雏形。数学家是如何填补牛顿逻辑上的漏洞的呢？

问题3：牛顿最后算出(10+Δt)，直接舍去Δt，得到瞬时速度为10。

活动：列出下列表格。

分析：事实上，并不是舍去Δt，也不是令Δt等于0，而是让(10+Δt)中的Δt不断接近0，然后考虑(10+Δt)会如何变化。(10+Δt)不断靠近10，离10越来越近，随着Δt不断趋近于0 而无限接近于10时的就是瞬时速度。由此引出了一个重要概念——极限。什么是极限？简单来讲就是，观察一组数的变化过程，看它会不断趋近于哪个数，最终趋近的那个数就叫作这个变化过程的极限。在上述例子中，我们就可以说，当Δt趋近于0 时，(10+Δt)的极限等于10。

问题4：什么是趋近？多近才叫趋近？当Δt趋近于0 时，(10+Δt)确实会不断接近10，但它也会不断接近9.9，为什么说极限是10，而不是9.9呢？

设计意图：通过引入贝克莱指出牛顿想法中的问题这一情境，启发学生思考，让学生用矛盾与发展的眼光看问题，让学生感受到数学创造的曲折性和严谨性，以及数学是不能模棱两可地解释的。

环节三：认识极限

情境引入：法国数学家达朗贝尔认为，一个变量趋近于一个固定量，趋近的程度小于给定的任何正数，那么这个固定量就叫作这个变量的极限。这个想法道出了极限的精髓，首先极限主要研究变量的变化趋势；其次极限的判断标准为变量和极限的差小于任何给定的正数。

问题5：这个数列有没有极限？

实际上，无论这个正数ε 怎么给，我们都可以在数列里找到某一项，从它开始，后面的数与0的差都小于这个定值。

为什么当Δt趋近于0 时，(10+Δt)的极限是10，而不是其他的数，比如9.9呢？

变量(10+Δt)与定值10 之间趋近的程度，即|Δt|，Δt可以小于任意给定的正数，因为Δt→0，因此我们可以说(10+Δt)的极限是10。为什么不是9.9 呢？因为(10+Δt) 与9.9的趋近程度为|Δt+0.1|，Δt→0，|Δt+0.1 |始终大于等于0.1，不小于任何给定的正数，所以(10+Δt)的极限不是9.9。

环节四：换个角度看瞬时速度

问题6：为什么瞬时速度就是平均速度的极限呢？

分析：路程s和时间t满足s=t2，求t=5秒时的瞬时速度。

我们从第5 秒开始，取一个时间间隔Δt，算出第5 秒到第(5+Δt)秒这一段时间的平均速度==10+Δt，Δt趋近于0 时，平均速度(10+Δt)的极限10就是瞬时速度。

我们换一个角度，看看还能如何通过平均速度得到瞬时速度。在满足s=t2的运动中，小车的速度会越来越快，做加速运动，t=5 秒时的瞬时速度v要小于其他时刻的瞬时速度，v一定小于这段时间内的平均速度(10+Δt)，v＜(10+Δt)。因此，无论时间间隔多么小，瞬时速度v都小于平均速度(10 +Δt)，即这个式子对任意Δt ＞0恒成立。

活动：列表观察。