平面几何中“mPA + nPB”型最小值问题解法探究

广西桂林市国龙外国语学校（541000）唐文娟

平面几何中“mPA+nPB”型最小值问题常见于中考数学单动点问题压轴题中，它能够与二次函数完美结合。此类问题涉及知识点多、综合性强，需要学生具备扎实的学科知识基础及一定的思维能力。

当m=n时，问题转化为求“PA+PB”的最小值问题。如图1，若点A、点B为定直线l同侧的两个定点，点P在定直线l上运动，此时“PA+PB”的最小值问题就是我们所熟知的“将军饮马”问题，其常规解法是作其中一定点A关于直线l的对称点A′，如图2，连接A′P，AA′，A′B，由轴对称变换的性质得到PA=PA′，因为点A′、点B均为定点，根据“两点之间线段最短”不难得到PA+PB=PA′+PB≥A′B，此时A′B与直线l的交点即为PA+PB取得最小值时点P的位置。其主要思路是利用轴对称变换将线段AP转移至直线l的另一侧，使两条线段位于直线l的异侧，再运用线段公理“两点之间线段最短”求解。

图1

图2

当m≠n时，问题变得更加复杂，如果再使用轴对称变换的思路将难以求解，需要另辟蹊径。下面笔者对当m≠n时，动点分别在定直线和定圆上运动的两种情形加以探究。

一、动点在定直线上运动

【模型探究】

问题：如图3，点A、点B为定点，点P为射线BC上的动点，PA+kPB（0 ＜k＜1）取最小值时，点P的位置应如何确定？

图3

分析：本题的解题关键在于如何对kPB进行处理，并且将其与AP联系起来。考虑到0 ＜k＜1，可利用三角函数进行转化。

如图4，在线段AB的一侧作射线BD，使得sin ∠DBC=k，过点P作PH⊥BD于点H，构造Rt△PBH，则kPB=PBsin ∠DBC=PH，因 此PA+kPB的最小值问题转化为PA+PH的最小值问题。过点A作AH′⊥BD于点H′，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可知，PA+kPB=PA+PH≥AH′，此时AH′与BC的交点即为点P。

图4

延伸：上述问题可以从条件和结论两个方面进行弱化或变形。在条件方面，可将“射线BC”弱化为“直线BC”或符合要求的“线段BC”；在结论方面，可将“PA+kPB（0 ＜k＜1）”变 形为“mPA+nPB（m＞n）”，而解决“mPA+nPB”型最值问题，需要将“mPA+nPB”转化为“PA+kPB”的形式，可以通过将PA的系数化为1实现这一过程，即mPA+

【模型应用】

［例1］如图5，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过其对称轴与x轴交于点D。若点P为y轴上的一个动点，连接PD，求的最小值。

图5

图6

［例2］抛物线y=x2-bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A(-1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点。

（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；

（2）点D(b,yD)在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；

解析：（1）因为抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0)，所 以1 +b+c=0，当b=2 时，c=-b-1=-3，则y=x2-2x-3=(x-1)2-4，因此抛物线的顶点坐标为（1，-4）。

图7

评注：本题中AM为定直线x轴上的线段，位置不变，而QM位置发生改变，其解题关键之一就是将QM的系数化为1，从而确定AM的系数为进而在x轴异于AQ的一侧构造45°角来处理系数最后借助“化斜为直”策略，即将斜线段QH′转化为竖直线段PQ求解。

二、动点在定圆上运动

【模型探究】

问题：如图8，⊙O的半径为r，点A、点B为⊙O外的两个定点，点P为⊙O上的动点，若k=，探究PA+kPB取最小值时，点P的位置应如何确定？

图8

图9

延伸：如果将上述问题一般化，求“mPA+nPB(m≠n)”型最值问题，则需要将“mPA+nPB”转化为“PA+kPB”的形式，仍然可以通过将PA的系数化为1 实现这一过程，即mPA+nPB=

【模型应用】

［例3］如图10，以原点O为圆心作半径为4 的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动，求的最小值。

图10

图11

［例4］如图12，抛物线y=与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m,0)(0 ＜m＜4)，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点N，交抛物线于点M。

图12

（1）若PN∶MN=1∶3，求m的值；

（2）在（1）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0° ≤α≤90°)，连接AP2，BP2，求2AP2+3BP2的最小值。

图13

不管动点P的运动轨迹是定直线还是定圆，解决“mPA+nPB（m≠n）”型最小值问题的关键在于对k倍线段长的处理。当点P在定直线上运动时，利用三角函数关系转化含倍分的线段，使之变为定点与定直线间的连续折线，再利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解；当点P在定圆上运动时，通过构造以半径为共边的母子型相似转化比例线段，使线段的倍分和转化为两定点间的连续线段之和，最终通过“两点之间线段最短”解决问题。

数学解题能力的提升从来都不是靠题海战术，而是在做题后能够有效整合同类型的题目，区分条件与结论的异同，归类梳理，形成解决某一类问题的常规思路，进而得到基本模型，以达到“做一题，会一类，通一片”的效果，逐步提高解题速度，提升数学思维能力。