本原性问题驱动的初中数学教学探究——以“反比例函数”第一课时教学为例

江苏苏州市吴江区教育局教研室（215200）钱建芬

本原性问题是数学教学中本质的、原始的问题，利用本原性问题开展数学教学能够有效引导学生思考与探究，提升学生的数学思维能力。教师在数学教学过程中应该合理运用本原性问题引导学生学习。下面以八年级下册“反比例函数”的教学为例进行分析探讨，实际教学流程是以小学数学的学习经验为出发点，围绕“反比例关系”这个本原性问题，沿着“导入课题—构建概念—破解问题—迁移应用”这样的路径开展教学，有效帮助学生理解“反比例关系”，掌握反比例函数的知识，解决相关数学问题。

一、教学流程

本节课的教学内容是“反比例函数”，反比例函数是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类函数。本节课的教学目的是让学生认识反比例函数。理解反比例函数的概念。学好这节课内容的关键是厘清反比例关系，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，体会函数的模型思想。为此，本节课从反刍学生的生活经验和学习经验入手设计教学流程。一是引入生活中常见的情境——开车去公园野餐，并以此为导入点，全程依照“野餐准备、野餐进行时、户外运动中的相关反比例数学问题”展开教学，让学生感受到数学就在身边，从而帮助学生深层次理解和掌握相关数学知识。二是在教学过程中，帮助学生回忆学过的相关知识，在原有的经验上，帮助学生生长新经验。本节课的主要教学流程如图1所示。

图1

二、教学实施

（一）创设情境，引发思考

创设“开车去公园野餐”这一生活情境，激发学生的学习兴趣，增强学生学好本节课内容的信心，引导学生愉快地学习新知。

【教师引导，解决问题】

师：我计划周末开车带今天课堂学习最活跃的同学去胜地生态公园野餐，请同学们一起帮助我规划一下周末的野餐活动。如果开车速度是80 km/h，那么路程s(km)与时间t(h)之间的表达式是什么？

生：s=80t。

师：若已经行驶了10 km，继续以80 km/h 的速度行驶，那么总路程s(km)与时间t(h)之间的表达式如何？

生：s=10+80t。

师：若学校与公园相距15 km，开车速度是vkm/h，全程所用时间是t(h)。写出t、v的函数表达式，填写下表，并且思考几个问题。

生：t=

【学生训练，增长经验】

（1）这个问题中的常量和变量分别是什么？

（2）对每一个给定的v，都有唯一的t与它对应吗？

（3）时间t是速度v的函数吗？

设计意图：用实际问题引出现实中的反比例关系，为后续的反比例函数的意义教学做好铺垫。创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴含的函数关系，激发探究兴趣。

（二）问题驱动，探索概念

在学生对三个量有了函数关系的初步认识之后，教师带领学生设计后续野餐环节。通过对相关问题的讨论，结合小学学过的“反比例关系”，并与当下学习的反比例函数产生关联，学生深刻理解和全面认识了反比例函数。

【教师引导，解决问题】

师：我们需要准备一些野餐时要用的蛋糕、鸡翅、草莓、野餐布等，请同学们思考以下问题，用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系。

（1）老师计划用300 g 面粉做千层蛋糕，蛋糕的层数y（层）随每层面粉质量x（克）的变化而变化。

（2）买鸡翅花了60 元，购买数量y（个）随鸡翅单价x（元）的变化而变化。

（3）质量为5 kg 的草莓需要清洗，所花时间t(min)随清洗速度v(kg/min)的变化而变化。

（4）长方形野餐布总面积是4 m2，长a(m) 随宽b(m)的变化而变化。

学生通过独立思考，写出了自己的答案，教师请几位学生在黑板上写出自己的答案。

师：现在请大家思考一下，前几位同学写出的函数表达式y=有什么共同特征？

生1：它们好像都是成反比例关系。

师：说得很好，你能不能用当下学习的函数术语表述它们的特征呢？

生2：因变量和自变量之间成反比例关系。

师：对，这位同学很棒！我们所研究的这些函数表达式的因变量和自变量都呈现反比例关系，而这种具有反比例关系的函数就叫作反比例函数。

教师趁热打铁引入反比例函数的定义：

一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。自变量x的取值范围是x≠0。

【学生训练，增长经验】

师：请大家用自己的“火眼金睛”识别一下，在下列函数中哪些是反比例函数，并说出其比例系数。

通过习题练习，学生进一步理解了反比例函数的定义，同时对比例系数有了明确的认识。在此基础上，教师对反比例函数的三种表达形式进行总结

（三）体悟关联，完善概念

通过对反比例函数定义的学习，学生对因变量、自变量、比例系数等关键因素有了初步的认识。但是，在一些细节问题上可能还有待进一步深化，比如自变量的取值范围等。

【教师引导，解决问题】

师：虽然我们已经准备好了野餐的相关食材和工具，但是还有一些问题涉及反比例函数，老师想请大家帮助破解。

用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并根据实际情况写出自变量的取值范围。

（1）帐篷放在一个长方体盒子里，盒子的体积为32 dm3，盒子的高为2 dm，宽b（dm）随长a(dm)的变化而变化。

（2）堆在餐布上的饮料总重30 N，它们对地面的压强p(N/m2)随它与地面的接触面积S(m2)的变化而变化。

（3）12 寸比萨约重500 克，每人吃到的比萨质量y（克）随人数x（个）的变化而变化。

【学生训练，增长经验】

师：我们一起来检测一下大家的学习效果。

问题：图2 中有一面围墙（可利用的最大长度为100 米），现打算沿墙围一个面积为120 平方米的长方形花圃。设花圃的一边AB=x（米），另一边为y（米），求y与x的函数表达式，并指出其中自变量的取值范围。

图2

通过对实际问题的分析，让学生明白：自变量的取值范围还应满足实际背景和意义。教师强调确定自变量的取值范围时应将实际问题和数学关系相结合，进一步强化学生对反比例函数的自变量取值范围的认识。

（四）学以致用，拓展提升

学生用学到的数学知识解决实际问题，提升思维品质，增长经验。

【学生训练，增长经验】

师：野餐结束后，还有一些户外运动。在这个过程中，也有一些反比例函数的相关知识，老师想请大家一起探讨。

用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并写出比例系数。

（1）一个菱形的风筝，总面积是80 cm2，较短的对角线n(cm)随较长的对角线m(cm)的变化而变化。

（2）小巧骑自行车行了2000 m，自行车车轮旋转的周数n随车轮直径D(m)的变化而变化。

在学生解决了上述问题的前提下，教师布置课后作业，以提升学生的数学思维能力，同时巩固学生的学习效果。

已知函数y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1 时，y=4，x=2 时，y=5，求y与x的函数关系式。

通过创设开车去公园野餐的情境，激发学生的学习热情，并以野餐的相关环节为线索，引导学生学习反比例函数，引导学生思考探究，加深学生对反比例函数的认识。上述教学从本原性问题出发，激发学生的学习兴趣，引导学生理解与掌握相关知识并解决相应的数学问题，这样的教学有助于提升学生的自主学习能力。

三、教学反思

（一）注重情境创设，提升学生兴趣

基于本原性问题开展数学教学，实际上是从数学问题的本质出发，创设学生熟悉的生活情境，把枯燥的符号运算与生动的生活场景结合起来，让学生在解决实际问题的过程中学习数学知识。这样既能提升学生的学习兴趣，又能加深学生对数学问题的理解。本节课以开车去公园野餐为教学主线，针对野餐过程中的种种情境“追根溯源”，让学生感到数学知识就在身边，提升了学生的学习兴趣，同时使学生在探索活动中感悟数学的本质。

（二）加强问题驱动，引导学生思考

解决问题的过程就是思考的过程，在实际教学中，教师要用学生感兴趣的问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中提升自己的学习能力和思维能力，形成自己独特的思维方式。本节课全程都是以问题为导向，无论是蛋糕的制作问题，还是风筝面积问题的解决，都比较通俗易懂，能够引发学生思考，并有利于学生将学到的知识用于解决实际问题，形成自己的思维方式。

（三）注重逻辑引领，挖掘学生潜力

数学是一门逻辑性很强的学科，在知识的传授过程中，要注重传授方法的科学性和合理性，尤其要注重知识传授的逻辑性，且要以一种学生乐于接受的方式进行。本节课以开车去公园野餐为主线，以“野餐准备—野餐进行时—户外运动”这样的顺序开展教学，让学生能够较好地把握事件发生的脉络。同时，在知识的传授上，由浅入深、层层递进，按照“反比例函数的定义—比例系数—自变量—反比例函数知识运用”的顺序进行教学，这样有助于学生理解掌握并运用所学知识。在本节课的最后，还设置了类比正比例函数的学习，并引导学生思考：还要继续研究哪些反比例函数问题？这样的问题无疑给学生留下了很大的思考空间，让学生感悟知识的生长，体会数学的魅力。