怎样确定一次函数表达式

林伟杰

一次函数表达式y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）中有两个待定参数k和b，确定了它们就确定了一个一次函数表达式，故一般需要两个独立的条件才能确定一次函数表达式．现举例说明确定一次函数表达式的方法，供同学们参考．

一、利用代入点坐标法确定一次函数表达式

例1已知一次函数的图象经过（1，5）和（3，9）两点，求此一次函数的表达式．

分析：先设其表达式为 y ＝ kx ＋ b，然后将已知的两点坐标代入，得关于k和b的方程组，解此方程组求出 k和b 后再代回即可．

解：设所求表达式为 y ＝ kx ＋ b，依题意，得5 ＝ k ＋ b，

9 ＝ 3k ＋ b．两式相减得4 ＝ 2k，故k ＝ 2．将 k ＝ 2 代入方程组，得b ＝ 3．故所求表达式是 y ＝ 2x ＋ 3．

点评：函数图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对儿对应值，据此可建立方程（组）确定一次函数表达式．

二、根据直线间的位置关系确定一次函数表达式

例2某一次函数的图象经过点（2，1），且与直线 y ＝ － 2x ＋ 3相交于 y轴上的一点，求此一次函数的表达式．

分析：因直线 y ＝ － 2x ＋ 3与 y 轴的交点是（0，3），故可设所求函数表达式为 y ＝ kx ＋ 3，代入点（2，1）可求出 k，进而可得表达式．

解：因直线y ＝ － 2x ＋ 3交y轴于点（0，3），故所求一次函数的图象也与 y 轴相交于点（0，3）．所以设其表达式为 y ＝ kx ＋ 3，将点（2，1）代入，得 1 ＝ 2k ＋ 3，故 k ＝ － 1．所以所求表达式为 y ＝ － x ＋ 3．

点评：由已知条件得出图象与 y 轴的交点坐标，进而正确设出所求表达式是解本题的关键．

三、根据图象信息确定一次函数表达式

例3长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定的质量，则要购买行李票．行李费用 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数，其图象如图1．试求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．

分析：由图象可知，函数图象过（60，6）和（80，10）两点，据此可求出 y与 x之间的函数关系式．

解：设函数关系式为 y ＝ kx ＋ b，由图象可知，点（60，6）和点（80，10）在图象上，则有6 ＝ 60k ＋ b，①

10 ＝ 80k ＋ b． ②

② － ①，得4 ＝ 20k，所以k ＝ ．将k ＝ 代入式①，得b ＝ － 6．

故函数关系式为y ＝ x － 6．令y ＝ 0，求得x ＝ 30．故自变量 x 的取值范围是 x ≥ 30．

点评：解决本题的关键是读懂题意．此外，要注意解决实际问题时自变量取值范围的确定方法：（1）使表达式有意义；（2）符合实际问题的需要．

四、根据一次函数的性质确定其表达式

例4一次函数 y ＝ kx ＋ b的自变量的取值范围是 － 3 ≤ x ≤ 6，相应函数值的取值范围是 －5 ≤ y ≤ － 2，求此一次函数的表达式．

分析：对一次函数 y ＝ kx ＋ b，若 y 随 x 的增大而增大，则由题意知其图象过点（－ 3，－ 5）和点（6，－ 2），由此可求其表达式；若 y 随 x 的增大而减小，则由题意知其图象过点（－ 3，－ 2）和点（6，－ 5），由此可求其表达式．故本题应分类讨论．

解：（1）当 y 随 x 的增大而增大时，由题意知，函数图象过点（－ 3，－ 5）和点（6，－ 2），由此可求得表达式是 y ＝ x － 4（－3 ≤ x ≤ 6）；（2）当 y 随x的增大而减小时，由题意知，函数图象过点（－ 3，－ 2）和点（6，－ 5），由此可求得表达式是 y ＝ － x － 3 （－ 3 ≤ x ≤ 6）．

点评：题设只给出了一次函数的自变量与函数值的取值范围．在这种情况下应根据一次函数的性质来求其表达式，否则容易造成漏解.L