2022年新高考I卷立体几何题解析与备考建议

广东省信宜市华侨中学(525300) 张东成

广东省华南师范大学数学科学学院(510631) 张 曦

立体几何是高中数学课程的重要模块,立体几何解答题作为历年高考的必考题,是考生“志在必得”的大题.在2022年新高考I卷中,该题难度中等,侧重考查逻辑思维及空间想象等关键能力.从本次考试评卷反馈结果来看,依旧存在考生空间想象能力不足等问题.因此,本文从试题背景、试题分析、试题解析、解法评注、错因分析及备考建议五个方面给予解读,希望有助于今后的高中教学及高考备考.

一、试题展示

题目(2022年新高考I卷第19题)如图,直三棱柱ABC - A1B1C1的体积为4,ΔA1BC的面积为

(1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点, AA1= AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A - BD - C的正弦值.

图1

图2

二、背景剖析

命题背景《普通高中数学课程标准(2017年版2021修订)》指出:“数学教材为‘教’与‘学’活动提供学习主题、基本线索和具体内容,是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源”.回归教材,笔者发现此题与新人教A版《普通高中教科书·数学(必修)》第二册第164页习题的拓展探索第19题如出一辙,题目如下:

教材母题如图,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ABC = 90°, AA1= AB.求证: A1C⊥AB1.

命制思路该习题由已知AA1= AB得A1B⊥AB1,结合AB⊥BC通过线面垂直判定定理证明AB1⊥平面A1BC.此题利用该线面垂直关系,即AB1⊥平面A1BC,通过直三棱柱为载体设置了2个任务:

任务1:利用直三棱柱与直三棱锥的体积公式求解点到面的距离,将任务2中求解未知边的难度分散,考查学生的直观想象、逻辑推理等核心素养;

任务2:借助任务1中点A1到面A1BC的距离,利用线面垂直AB1⊥平面A1BC求得未知边的长度,从而求解二面角的正弦值,考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.

知识背景此题以直三棱柱为载体,考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等位置关系以及二面角,体积等基础知识.下面将解法中涉及到的解题思路梳理如下.

表1 第(1)问解法汇总表

表2 第(2)问解法汇总表

三、解法评析

(1)试题分析由于题目直接给出直三棱柱ABC -A1B1C1的体积,及斜截面ΔA1BC的面积,故考虑从斜截面ΔA1BC为底面的直三棱锥A - A1BC入手.

试题解析

评注解法1逆用体积公式的解题思路更为清晰自然,绝大部分考生能够利用该解法进行求解,但若记错公式则会造成失分遗憾.解法2则避免了锥体与柱体的体积关系的误用,部分考生还利用了二面角A - BC - A1的余弦值等于投影面积与原面积的比值作为中间量进行求解,但相较解法1对直观想象能力要求更强.

(2)试题分析为求二面角A - BD - C的正弦值,则考虑先求解与该二面角相关的线段长度.本题涉及到的长度条件为第(1)问所求得的A到平面A1BC的距离,将问题转化为寻找过点A且与A1B垂直的线段.结合已知条件知ABB1A1为正方形,有AB1⊥A1B,从而连结AB1交A1B于点E,即得出AE等线段长度.

解连结AB1交A1B于点E,因为AA1= AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,则AE⊥BC.由(1)知A到平面A1BC的距离为AA1= AB = 2.

试题分析1由题目条件中已给出面面垂直等位置关系,可考虑借助“空间向量”这一有力的工具进行求解.需先论证BC⊥A1B从而求解BC长度,可通过线面垂直的性质定理直接论证(详见解法1-1)或利用面面垂直判定线面垂直,结合线面垂直性质定理论证(详见解法1-2).求得线段长度后再论证面面垂直等位置关系,建立空间直角坐标系,表示所需点、向量的坐标,求解两个半平面的法向量,并求两个法向量夹角的余弦值,完成解答(详见解法1).

解法1-1(线面垂直性质定理)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC,从而BC⊥平面ABB1A1,故BC⊥AB,BC⊥A1B.由已知得BC×A1B =

解法1-2(面面垂直性质定理)平面ABC⊥平面ABB1A1,平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面A1BC = BC.所以BC⊥平面ABB1A1, BC⊥AB,BC⊥AB1.由已知得BC×A1B =

解法1(空间向量法)连结AB1交A1B于点E,因为AA1= AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,则AE⊥BC.

由(1)知A到平面A1BC的距离为,故AE =A1B =AA1= AB =2.以B为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图3所示的空间直角坐标系B - xyz.则A(0,2,0), C (2,0,0), B1(0,0,2), D (1,1,1),= (1,1,1),= (0,-2,0),= (0,-2,2).设n = (x,y,z)是平面DAB的法向量,则

图3

评注1解法1采用空间向量法,考生需论证面面垂直后进行建系,正确写出相关量的坐标,运用空间向量求解二面角的正弦值.在论证BC⊥A1B,解法1-1更为简洁明了,解法1-2中使用面面垂直的判定定理更易出错.

试题分析2尝试利用几何法求解,根据二面角的平面角的定义,需要找出过公共棱BD上的某一点且分别在两个半平面内垂直于BD的两条垂线.由于AE⊥平面A1BC即有AE⊥BD,则考虑过点A作AF⊥BD于点F,此时, BD⊥平面AEF则有EF⊥BD,找到所求二面角的平面角的补角∠AFE(详见解法2),将求解空间角的余弦值转化为求解平面角∠AFE的余弦值,求解∠AFE余弦值有两种思路:

解法2(几何法—二面角的平面角的补角)过点A作AF⊥BD于点F,连结EF,由于AE⊥平面A1BC,则EF⊥BD,从而∠AFE是二面角A - BD - C的平面角的补角.在直角三角形A1BC中,由于点D为A1C的中点,则BD =

图4

图5

解法评注2与解法2-2中使用三角形面积比例关系进行求解,解法2-1采用“等面积法”求解AF较为简洁明了,但也对空间想象能力要求更高.

图6

图7

试题分析3尝试利用几何法,同解法2考虑过点A作AF⊥BD于点F,此时可以利用全等三角形证明CF⊥BD,从而找到二面角的平面角为∠AFC,进而利用余弦定理求解的正弦值(详见解法3).

解法3(几何法——二面角的平面角)过点A作AF⊥BD于点F,连结CF,由于AB = BC, AD = CD,则ΔABD∽=ΔCBD.从而CF⊥BD,∠AFC是二面角A - BD - C的平面角.又CF = AF =(求解AF同解法2).由于cos∠AFC =故二面角A - BD - C的正弦值为sin∠AFC =.

解法评注3解法2、3采用几何法,按照“一作、二证、三指、四求、五答”的步骤进行[1].解法2、3对考生的空间想象能力和逻辑思维能力的要求较高,而运算求解能力要求相对较低.相较解法3,解法2中空间角转化为平面角更加抽象但求解时更为直观.

综述该题难度中等,解法多样,对于区分不同层次的考生起到了良好的效果,体现出高考“以能力立意为主,突出选拔功能”的思想.笔者认为其中蕴含的“降维升维”思想实在是妙.一是要利用“降维”,将立体几何问题转化为平面几何问题,如将空间角转化为平面角;二是要学会“升维”,将平面几何问题推广至空间几何问题,如“等面积法”推广至“等体积法”.除此之外,从知识立意到能力立意,再到素养立意,该题的精妙之处值得细细品味.

四、错因分析

基于桑代克的学习试误说、建构主义学习理论,笔者将该题的主要错误按照五种错误类型汇总如下.

表3 主要错误分类汇总表

五、真题评述

表4 基于直观想象素养视角2022年6套高考数学试卷立体几何解答题分析表

2020年10月,中共中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和“机械刷题”现象.

而近年来,立体几何解答题基本上是给出传统的几何体,进行线面关系的论证和空间角的求解,这一模式化命题慢慢成为固定套路的题目,在学生备考时往往充当了机械化训练的推手[2].

笔者尝试将2022年教育部教育考试院命制6套高考数学试卷,包括全国甲卷2套(文、理科)、全国乙卷2套(文、理科)、新高考I卷1套(不分文理科)、新高考Ⅱ卷(不分文理科)的立体几何解答题根据直观想象素养水平的描述从情境与问题、知识与技能、思维与表达这三方面进行试题分析.

不难发现,今年高考仍旧以常见几何体为载体考查线面位置关系、点到直线距离、体积等基础知识点,但在传统的命题模式上有所创新,笔者认为有以下三大亮点:

亮点之一,在知识交汇处命题,如全国乙卷(理科)涉及全等三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、最值等知识的综合应用.

亮点之二,改变不同特征量的逻辑联结顺序.如全国乙卷(理科)从以往的“求最值”改编为“已知最值,求线面角”,部分试题考查定理的逆用.

亮点之三,敢于打破模式化命题.如新高考I卷中第(1)问由传统线面关系的定性论证,变化为从能力立意的角度考查点到平面距离的定量求解.

综合以上命题亮点,笔者认为这正是发挥着高考指挥棒的“引导”作用,向广大考生的传送信息:不可一味的追求固定套路的训练,应当更注重理解知识、发展思维能力.

六、备考建议

基于今年高考评卷过程中出现的典型错误及历年真题考查的特点,希望如下的建议对新一年度备考有所启示.

(一)注重知识基础,更注重思维发展

数学学科在高中阶段教育中的特殊地位是由它在训练和发展学生抽象思维、逻辑思维以及改变学生的思维方式方面的独特功用所决定的.正确的高考数学导向无疑应是肯定数学对每一位学生发展和完善自身思维方式的价值,激励和促使学生在高中学习阶段追求提高其抽象思维能力和逻辑分析能力,使其会更加逻辑地分析问题和看待世界[3].

根据范希尔几何思维层次理论,立体几何解答题以线面关系为逻辑主线,综合考查推理计算,其实质是考查考生的几何思维是否由视觉辨认的基本层次发展至高层次的严密逻辑推理层次.深入理解基础知识必然是几何思维发展的要素之一.

但教师在教学时往往在概念形成上用时较短,把教学重心放在了定理的应用上,而从考生实际作答情况来看,在答题时对基本概念认知不清晰和运算所需公式记忆出错是得分不理想的一个重要原因[4].

因此,在备考复习中一定要重视对基本概念、公式、定理的再理解,在概念教学中应加强对概念的解剖分析、利用变式突出概念的本质属性、注意概念的对比和直观化、注意概念体系的建构;在原理定理教学中应当提供丰富的例子、联系已学过的知识、让学生学会应用;在公式教学中应强调对公式的理解[5].正所谓“磨刀不误砍柴工”,只有理解了基础知识,才能进一步发展并最终形成真正的几何思维,从而提高解题能力.

(二)落实通性通法,更落实关键能力

通性通法是指解决具有相同性质数学问题的思想方法[6].以基础知识为依托,以基本方法为技能,通法的思维方式本质上是定势思维,适度的进行有利于正迁移的训练其操作过程易于为多数学生所掌握.因此,在立体几何的教学中强调向量法等通法的掌握是十分必要的.

但是,未经合理设计的刷题练习可能因过度关注技巧而弱化了模块内部或模块之间的整合,致使学生头脑中都是分散的知识碎片.因此,教学备考中教师应当把握命题精神,精选题,将学生从题海中解放出来.

2019年,高考数学科就提出了5项关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力.而在命题中,关键能力是具体的考查目标,是实现学科素养考查目标的手段和媒介[7].从考生的作答情况来看多数考生的关键能力还有提升空间.因此,对于重要的通性通法,不仅要懂得如何操作,还要理解如此操作的合理性,从而提升关键能力.