从浅层思考到深度思维——以“三角形的分类”教学为例

江苏省宜兴市周铁小学 廖 燕

课标指出，数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，发展学生的创造性思维。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

数学学习离不开数学思考。在数学教学中，学生的认知是由零散逐步过渡到系统化的，学生的思维逐步深入，进入一种深度思维的状态。学生思维水平的高低是衡量学生数学素养水平高低的一个重要体现。在数学学习中，使学生拥有较强的数学思考能力是现代教育对数学教学的基本要求。因此在数学教学中，教师要以培养学生的数学思考能力为核心，注重学生数学认知结构的建构与优化，数学语言的内化与精练，数学方法、策略的反思和总结，促使学生的数学学习从“浅层思考”到“深度思维”，不断发展学生的数学学科素养。

一、注重认识结构的建构和优化，夯实深度思维的根基

数学知识是人类对现实世界认识的结晶，是对现实世界的空间形式和数量关系的概括。在数学教学中，教师要重视学生数学认识结构的建构和优化，帮助学生厘清数学概念，使学生的认知清晰、准确。这样，学生才能真正展开数学思考，触摸数学知识的本质，由表及里，去伪存真，真正理解数学学习的核心，夯实深度思维的根基。

如 “三角形的分类”一课伊始，教师出示学过的锐角、直角和钝角图形（图略）。

师：图上分别是什么角？想一想锐角、直角和钝角是根据什么来进行分类的。（生答）

师：是呀，分类就是根据一定的标准将事物进行划分。今天这节课，我们一起来研究——三角形的分类。（板书课题）

师：关于三角形，你有哪些了解？你们会画三角形吗？任意画一个三角形。（收集投影）

师：老师收集了几个同学画的三角形，大家一起来看一看。他们画的是三角形吗？这三个三角形形状相同吗？老师也画了几个不同形状的三角形，如果要把这些三角形分分类，想一想，可以根据什么来进行分类呢？（生答）

师：这节课，我们就根据角的特点来研究三角形的分类。（出示：角的特点）

师：如果要按角的特点给这些三角形分分类，你会吗？请大家仔细观察这6个三角形（出示操作要求），然后想一想哪些三角形的角有共同特点，可以分为一类；再从信封中取出三角形动手分一分；最后和同桌说一说你是怎么分的。

师：你们把这6个三角形分成了几类？

生：三类。

师（小结）：刚才，大家按照角的特点把这6个不同形状的三角形分成了三类。

师：之前大家都画了一个三角形，你画的属于第几类呢？会判断吗？

师：刚才你们画的三角形都在这三类里，那有没有不在这三类里的三角形呢？

（生讨论交流：一个三角形中会有两个直角吗？最多有几个直角？）

师（引导）：也就是说，一个三角形中至少有几个锐角？（两个）

师：通过刚才的交流，你觉得还会有不在这三类里的三角形吗？

师（小结）：看来，三角形按角的特点只能分成这三类，而显然没有既属于其中一类又属于另一类的三角形。所以，这样分类既不遗漏也不重复。（板：不遗漏 不重复）

在教学例题时，教师没有急于求成，而是让学生先仔细观察图形，再让学生自己动手分一分，整个过程，教师都放手让学生自主探索。分类的选择、优化，丰实了例题厚度。正所谓“实践出真知”。学生只有亲身经历分类全过程，才能感受分类的价值，才能在运用分类思想的过程中发展数学思维。

二、注重数学语言的内化和精练，培育深度思维的细胞

语言是思维的细胞，数学语言是数学思维品质的重要指标。学生数学思维质量如何，往往体现在学生用来表述数学特征的数学语言上：学生是否能用规范、简洁的数学语言来表述学习观点。因此在数学教学中，教师关注学生数学语言的表述，由此窥析学生的知识建构进程、对数学知识的理解程度，不断精练学生的数学语言，让学生学会有序思考，进行有条理的表达，不断促使数学学习能力的提升。

例如，在教学 “三角形的分类”时，教师引导学生在互动交流中实现思维碰撞，建构锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的概念。

师：刚才，我们顺利给三角形分好了类，接下来该给它们起个名了。第一类三角形，我们称为锐角三角形，那你知道第二类可以叫什么三角形吗？第三类呢？（依次出示直角三角形、钝角三角形）

师：结合刚才分类的过程，你觉得什么样的三角形是锐角三角形？什么样的三角形是直角三角形？

生1：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。

生2：一个直角、两个锐角的三角形是直角三角形。

师：想一想，“两个锐角”在这里可以省略吗？为什么？和同桌说说你的想法。

生：可以省略，因为我们已经知道了一个三角形最多只能有一个直角，那剩下的两个肯定是锐角，所以只要强调一个角是直角。

师：有道理！简洁清晰，这可是数学语言的魅力呢！

师：知道了锐角三角形和直角三角形，那什么样的三角形是钝角三角形呢？

生：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

师（启发）：比较一下这三句话，你有什么想法吗？

师（小结）：不管什么三角形，至少有两个锐角，有一个锐角的三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形，这样概括不严谨、不科学。数学语言不仅要简洁，还要严谨、科学。

在教学时，为了帮助学生完整、准确地理解数学概念的内涵，把握数学的本质和内在规律，教师可以多视角、多维度地引导学生认识客观事物表象，经过分析、综合、概括等思维方式，逐步抽象知识表象，理解数学知识的意义。

三、注重数学方法、策略的反思和总结，培养深度思维的自觉

在数学学习中，教师除了让学生进行数学思考、开展数学交流，还要培养学生的反思意识，使学生能够积极主动地进行数学反思，反思学习过程中用到的数学方法、策略，自我发现、自我总结，真正用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题。

如 “三角形的分类”巩固练习环节，教师设计了如下拓展练习：

练习一：

师：如果把三角形的一部分遮住，只让你看到一个角，你们还能判断它是什么三角形吗？

出示（见图1）：

图1

师：①能确定吗？②和③呢？

生1：①是直角三角形，因为那个角是直角。

生2：②是钝角三角形，因为露在外面的是钝角。

生3：③是锐角三角形。

生4：③不能确定是什么三角形。

师：③这道题，有人选“锐角三角形”，有人选“无法确定”，先请选锐角三角形的同学来说说自己的想法，再请选“无法确定”的同学说说是怎么想的。谁说的有道理？

（生自由答辩）

师（小结）：一个三角形至少有两个锐角，仅凭看到的一个锐角无法判定这个三角形是什么三角形。

师（引导）：如果老师告诉你这是三角形中最大的一个角，你能确定是什么三角形吗？为什么？

师（点评）：这道题有给你什么启示吗？

练习二：几何画板上出示图2。

图2

师：同学们，现在屏幕上没有三角形，只有三个点，猜一猜，连接这三个点，会得到什么图形？你们是根据哪个角判断的？

师：如果将其中的一个顶点C沿这条直线移动（出示直线），想象一下，三角形的形状会发生变化吗？你觉得会出现什么三角形？ 除了这个直角三角形，你还能移动点C找到其他的直角三角形吗？

师：虽然这三个三角形直角的位置不同，但其中最大的角都是直角，都是直角三角形。

师：锐角三角形呢？谁来试一试？想象一下，C点怎么移才能得到钝角三角形呢？

师：同学们，刚才我们移动点C，得到了哪些三角形？还有其他三角形出现吗？

师：刚才C点是沿着这条横着的线移动的，你觉得C点还可以怎样移动呢？（竖着、斜着）

这样的数学课堂，充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，培养了学生的探索精神，并使学生在探究过程中获得了丰富的情感体验。深度思维的表现就在于让学生经历严谨周密的数学分析，从复杂的外部表象中把握数学知识表象的核心本质。教师准确把握学生知识的生长点，让学生厘清数学知识的关键点，理解数学知识的本质，促进学生数学思维深度发展。

总之，发展学生的数学核心素养离不开培养学生的深度思维。培养学生的深度思维，并不是一蹴而就的，而是一个长期的过程。在数学教学时，教师要引导学生自觉、主动地进行数学思考，通过各种方式、多渠道地引导学生经历数学探究的过程，在学生感知、理解、体会应用的数学知识的认知过程中，不断建构、完善、提升学生的数学思考力，使学生获得数学智慧生长的力量。