基于叠加级联长周期光纤光栅的温度和应变传感的理论分析

崔春雷,冯 建,李 锋

(广东交通职业技术学院 智慧交通工程学院，广州 510650)

0 引言

长周期光纤光栅(LPFG,Long period fiber grating)是一种透射型光纤光栅[1]，作为一种新型光纤器件，相对于布拉格光纤光栅(FBG)，长周期光纤光栅对应变、温度、环境折射率、弯曲等环境参数的灵敏度更高[2]，且具备多个损耗峰，谐振峰波长与温度和应变之间有着较好的线性关系[3-4]，加上成本低、体积小，近年来在传感领域受到普遍关注。多参数同时测量是光纤传感技术的发展趋势[5]，但在工程测量中温度和应变会相互影响，从而形成交叉敏感现象[6-7]。目前常采用两种以上光栅组合的方式来克服交叉敏感实现多参数的测量[8]，如采用FBG与LPFG组合的方式[9]，LPFG与HBF组合的方式[10]，用LPFG与保偏光纤sagnac环组合的方式[11]，这些方法主要利用不同类型的光栅对温度与应变等参数的灵敏度的不同来实现多参数同时测量，但这些方案的成本高，制作工艺和光路复杂，影响测量精度的因素多[12]。为解决上述问题，有学者采用同类型光栅串联的方式作为传感器，如pssetti通过级联两个周期相同的光栅实现了多参数测量[13]，但该方案中两段光栅使用相同的模式，无法形成对温度和应力的差异化感应，导致无法实现对温度与应力的同时独立测量。

本文提出了一种基于叠加型级联长周期光纤光栅的温度与应变双参数同时测量的方案，该方案采用在同一段光纤上重叠写入两种不同周期的LPFG，利用周期不同的子栅具有不同的温度、应变响应这一特性，设计了具有增敏和抗扰特性的解调矩阵，从而实现温度与应变的高精度同时测量。

1 叠加型级联长周期光纤光栅的数学描述

常见的级联型长周期光纤光栅(CLPFG, Cascaded Long-Period Fiber Grating)一般采用串联的方式把两个光栅LPFG1与LPFG2连在一根光纤上。光经过LPFG1后，纤芯模的一部分会被耦合进包层模，然后包层模和剩余的纤芯模分别在包层和纤芯中传播距离d，之后包层模又耦合回LPFG2的纤芯并和纤芯模发生干涉，其工作原理与Mach-Zehnder干涉仪相近[14]。如图1所示，因为纤芯模的干涉，导致串联式级联型LPFG的光谱具有密集多峰的特点，且光谱的密集程度和距离d、环境温度、光栅强度都高度敏感[15]，这一特性决定了串联型级联型LPFG作为传感器是较为困难的。如陈美娟等人提出了基于串联级联LPFG的温度与应变传感器[16]，但该方案并未考虑到串联型LPFG透射谱的因为过于密集多变无法成为稳定的测量标的。

图1 串联式级联型长周期光纤光栅(CLPFG)透射谱

为了克服CLPFG光谱过密不适合作为测量标的的缺陷，本文提出了一种基于叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG，Superimposed Long Period Fiber Grating)的多参数传感器，该传感器结构简单，可以实现温度与应变的同时测量，相对于单栅其灵敏度更高，且克服了串联型级联LPFG作为传感器时光谱过于密集多峰的问题。

SLPFG结构如图2所示，在同一段光纤中重叠写入周期分别为Λ1和Λ2的两个子栅，此时纤芯折射率改变量为：

图2 叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)结构

(1)

其中:Δni为第i个子光纤光栅的平均折射率该变量。在这种重叠级联式LPFG中，LPFG1和LPFG2分别把纤芯模耦合到自身的某个包层模中，从而避免了串联式级联LPFG中的光谱干涉现象。

此时，光栅中耦合方程可以表示为[17]：

(2)

其中：A1=a1(z),A2=a2(z)ej2zδ1,A3=a3(z)ej2zδ2；这里a1,a2,a3分别为纤芯基模和两个包层模式对应的振幅；k1和k2分别表示LPFG1和LPFG2的纤芯基模和包层模的耦合系数；δ1和δ2分别表示LPFG1和LPFG2中纤芯基模和包层模对应的失谐量，且有：

β1，β2，β3分别为纤芯基模以及LPFG1和LPFG2包层模的传播常数。通过求解方程(2)，得到A1，A2，A3后，最终可得出长度为L的叠加级联长周期光纤光栅(SLPFG)的透射率为：

(4)

图3为数值仿真得到的叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)的传输谱，其中Λ1=400 μm，Λ2=410 μm仿真结果与文献[18]结论一致，这里因Λ1和Λ2差距较小，所以图中两个LPFG的同一阶次的谐振峰的位置也较为接近。

图3 叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)透射谱

2 叠加级联长周期光纤光栅双参数传感原理

长周期光纤光栅的耦合发生在纤芯基模和同向传播的一阶m次包层模之间，根据耦合模理论可得[19]：

(5)

对λm(T,ε)进行泰勒展开，当忽略高阶项时，可得到：

(6)

式中,最后一项为温度与应变的交叉敏感项，在温度与应变较小时，交叉敏感项对系统误差的影响非常小[20]，可以忽略不计，此时可把式(6)写为：

Δλm=KTΔT+KεΔε

(7)

当仅考虑应变作用时，LPFG的谐振波长与应变关系为：

(8)

当仅考虑温度作用时，LPFG的谐振波长与和温度的关系为[21]：

(9)

LPFG的谐振波长与温度或应变的灵敏度系数的大小与LPFG的周期以及损耗峰的阶次密切相关，假定忽略温度和应变的交叉敏感，此时LPFG的谐振波长与温度和应变为线性关系。对重叠级联长周期光纤光栅，可以利用不同周期的不同谐振峰对温度和应变的差异性，来达到增大传感器的灵敏度、减小交叉敏感的目的。当环境温度与应变同时改变时，LPFG1与LPFG2的谐振波长会随着这两个环境参数的改变而发生漂移，可表示为：

(10)

其中:ΔλLPG1_m表示LPFG1的纤芯基模LP01与LP0m阶包层模的谐振峰的波长漂移量，ΔλLPG2_n表示LPFG2的纤芯基模LP01与LP0n阶包层模的谐振峰的波长漂移量。KT_LPG1_m和Kε_LPG1_m为LPFG1的m阶谐振峰波长与温度和应变之间的灵敏度系数，KT_LPG2_n和Kε_LPG2_n为LPFG2的n阶谐振峰波长与温度和应变之间的灵敏度系数。把式(10)逆运算，得到：

(11)

显然SLPFG作为传感器时，通过测量两个子栅对应的波长漂移量ΔλLPG1_m和ΔλLPG2_n，然后带入公式(11)，则可计算得到温度与应变的变化量ΔT和Δε。

图4为基于叠加级联长周期光纤光栅(SLPFG)的温度与应变传感系统。该系统主要分为三大部分：宽带光源(ASE)、SLPFG光栅、光谱仪(OSA)。其中宽带光源(ASE)发出的光，在经过SLPFG光栅时因受环境温度与应变的作用，会导致SLPFG的透射谱中的谐振峰发生偏移，且不同周期不同阶次的模式对应的谐振峰受环境因素的影响各不相同，导致波峰的偏移量也各不相同，经过光谱仪接收后，利用设计的增敏解调矩阵，就可以把环境温度与应变分别独立求出。

图4 基于SLPFG的传感系统

3 双参数传感的仿真与分析

为了使SLPFG双参数传感系统工作于最佳波段，需要先分析单个LPFG的透射谱与温度与应变灵敏之间的关系。进行数值仿真时设光栅参数为：α1=4.15 μm,α2=62.5 μm,n1=1.468 1,n2=1.462 8，周期Λ=400 μm,光栅长度为L=3 cm，p11=0.113,p12=0.252,α=5.5×10-1/℃,ξco=6.45×10-6/℃,pco=0.22，t0=20℃。由文献[22]可知温度敏感系数KT的大小与正负主要由ξco和ξcl的相对大小决定，且两者相差越大KT越大，这里设ξcl=6.34×10-6/℃。应变敏感系数Kε的大小与正负主要由pco和pcl的相对大小决定[23]，且两者相差越大Kε越大，这里设pcl=0.24。

3.1 模序对温度与应变灵敏度的影响

采用上述参数，通过数值计算得到了1 510 nm波长处不同阶包层模对应的温度系数KT与应变系数Kε的函数关系图。

图5为当ξcl<ξco时温度系数KT与模序的关系。由图可知1～17阶包层模所对应的温度系数KT为正，且随着阶次越高，温度系数KT也越来越大；而19阶及之后的包层模对应的温度系数KT为负，且随着阶次的增加KT的绝对值也快速减小。可见在测量温度时想获得足够高的灵敏度，则所选的模序越接近17阶越好，考虑到温度系数KT的正负应尽量保持一致性，本文只采用透射谱中17阶之前的模式的谐振峰作为测量标的。

图5 温度系数KT与模序关系

图6为当pcl>pco时应变系数Kε与模序的关系。由图可知19阶包层模之前的Kε为正，且其值随着阶次的升高，对应的应变系数Kε也越来越大；而21阶及之后的包层模对应的应变系数Kε为负，且Kε的绝对值随着模序的增加而减小。由图6可知，在测量应变时，如果想获得足够高的灵敏度，则所选的模序越接近19阶越好，考虑到应变系数Kε的正负应尽量保持一致性，本文只采用透射谱中19阶之前谐振峰作为测量标的。

图6 应变系数Kε与模序关系

综合以上分析，在给定的光栅参数前提下，阶次较高的模式的谐振峰对环境的敏感度也更高，且在高阶次下的两个相邻模式之间的环境敏感度系数的差值也更大，这有利于增加传感的灵敏度并降低交叉敏感。由此，为了增加SLPFG的传感性能，结合图5和图6，本文在仿真SLPFG传感系统时，优先选择17阶之前且模序较高的谐振峰作为测量指标。

3.2 光栅周期对温度与应变灵敏度的影响

再来分析不同周期对灵敏度系数的影响。保持其他参数不变的前提下，分析单个LPFG的光栅周期取不同值时对应的谐振峰的漂移量与温度的关系(图7)，以及谐振峰的漂移量与应变的关系(图8)。

图7 温度系数KT与光栅周期关系

图8 应变系数Kε与光栅周期关系

图7为温度系数KT与光栅周期之间的关系图，图中的四条函数曲线从下到上分别是光栅周期取350 μm、400 μm、450 μm、500 μm时9阶包层模的谐振峰波长漂移量与温度之间的关系。

相应的，图8为应变系数KT与光栅周期之间的关系图，图中的四条函数曲线从下到上分别是光栅周期取350 μm、400 μm、450 μm、500 μm时9阶包层模的谐振峰波长漂移量与应变之间的关系。

由图7和图8可以看出，单个长周期光纤光栅(LPFG)作为传感器时,光栅周期越大则对应的温度与应变灵敏度也越高，另一方面对两个光栅周期不同的LPFG，彼此之间的周期差值越大，则两者之间相应的灵敏度系数之间的差异也越大。显然，在使用SLPFG制作温度与应变传感系统时，叠加的两个子栅的周期也应尽量的大，且两个子栅的周期也要有一定差距，这样不但可以有效提升系统整体的灵敏度，也可以通过不同子栅之间灵敏度的差异来减小交叉敏感现象。

3.3 基于叠加级联长周期光纤光栅双参量传感的性能分析

在采用叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)进行温度与应变的双参数同时测量时，不但要提高灵敏度，还要尽可能的减少系统误差，增强传感系统测量时的抗扰性，为此公式(10)、(11)中的传感解调矩阵的行列式的绝对值在不为零的前提下应该越大越好，原因如下：

把式(11)记为b=K-1Δλ，由于在测量波长偏移量Δλ时会引入测量误差，这里记为δλ，则有：b+δb=K-1(Δλ+δλ)。

(12)

设SLPFG中的子栅LPFG1的周期为Λ1=390 μm,选其7阶谐振峰作为观测量，设子栅LPFG2的周期Λ2=410 μm，选其9阶谐振峰作为观测量，其他参数保持不变，计算得到：KT_LPG1_7=0.052 nm/℃,KT_LPG2_9=0.062 nm/℃，K=0.0000 33 nm/μ，K=0.0000 55 nm/μ。考虑到矩阵中元素之间大小差异过大时，会导致矩阵的条件数增大，矩阵趋向于病态[24]，会放大测量误差带来的精度损失，于是把应力敏感系数调整单位后改为K=0.033 nm/100 μ,K=0.055 nm/100 μ，并带入式(11)，得到：

(13)

于是通过测量叠加型级联长周期光纤光栅中LPFG1的7阶谐振波长的变化量ΔλLPG1_7以及LPFG2的9阶谐振波长的变化量ΔλLPG1_9，代入式(13)即可得到待测的温度变化量ΔT与应变变化量Δε。

图9为根据本文的模型，仿真模拟的温度与应变同时作用于叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)时，其透射谱的变化图。

图9 温度与应变同时改变时SLPFG谐振峰的变化

图9中的实线为环境参量ΔT=0,Δ=0 με，时的SLPFG的透射谱，从左到右分别是子栅LPFG1的7阶谐振峰、子栅LPFG2的7阶谐振峰、子栅LPFG1的9阶谐振峰、子栅LPFG2的9阶谐振峰；图中的虚线则为ΔT=60，Δ=3000 με时上述各子栅的7阶和9阶的谐振峰。很明显，温度和应变的增加导致SLPFG的两个子栅的各阶次谐振峰整体向着长波长方向漂移，且阶次越高的谐振峰的波长漂移量也越大，另一方面阶次相同但周期不同的子栅的波长漂移量也不同，周期大的波长漂移量也更大。

再来分析基于叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)的传感系统相对于单长周期光纤光栅(LPFG)传感系统的优势。如果传感系统采用单个LPFG，测量标的仍选用LP07和LP09两个模式，通过仿真计算，得到传感解调矩阵表达式为：

(14)

分别计算式(13)(14)中矩阵的条件数cond(K)∞，发现式(13)的cond(K)∞=16.1,而式(14)的cond(K)∞=21.5，根据矩阵的摄动分析理论可知式(13)中的传感解调矩阵对抗测量误差扰动的能力更强，即采用相同阶谐振峰作为标的时，基于SLPFG的传感器相对基于单LPFG系统的敏感度更高、测量精度更好、抗扰性更强。

根据以上分析，在设计基于SLPFG的传感系统时，如果选用子栅周期差异更大，模序差异更大的两个谐振峰作为测量指标，则可以得到敏感度更高、抗扰性更强的传感矩阵。

4 结束语

本文提出了一种基于重叠级联长周期光栅光栅(CLPFG)的温度与应变双参数传感方案，通过在同一段光纤同时刻写两个周期各不相同的子栅得到叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)，利用周期不同的子LPFG具有不同的温度、应变传感特性实现了双参数同时测量。叠加型级联长周期光纤光栅(SLPFG)的透射谱相对于级联型长周期光栅(CLPFG)更加稳定易控，其谐振波长更适合作为测量标的。通过分析LPFG的温度与应力敏感度系数与模序以及周期的关系，得到了传感器增敏的方法，并给出基于SLPFG双参数传感系统的传感解调矩阵，并分析了影响解调矩阵的传感精度的因素。通过矩阵摄动理论分析证明了基于SLPFG的双参数传感系统的性能要优于单LPFG和级联型LPFG，加上本方案结构简单、光栅刻写容易，使得该方案具有较高的应用价值。