聚焦不完全归纳 培养学生的推理意识——以“乘法的交换律和结合律”一课为例

江苏省常州市新北区三井实验小学 王红菊

一、在情境中引出现象，产生推理的意识

数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。创设数学教学情境既要紧扣教学目标，适合学生的认知水平，靠近他们的最近发展区，又要具有较丰富的数学信息，形式尽可能地生动直观，易于学生理解。规律课的教学，往往就是通过一个具体情境，引出一种现象，从而开启规律探究的第一步。借助具体的情境，让学生有话可说、有理可明、有法可依，逐步打开推理的大门。

【片段一】

师（呈现圆片图）：图1中一共有多少个圆片？你能快速列式并说说你是怎么想的吗？

图1

生1：每行有5个，一共有3行，所以用5×3就可以求出圆片的个数。

师：有没有不同的算式？

生2：我是竖着看的，每列有3个，一共有5列，所以是3×5，也是15个。

师：他们说的有什么不一样？

生3：一个是横着看，每行有5个，一个是竖着看，每列有3个。

师：3×5和5×3都求出了圆片的个数。那这两个算式之间可以写等号吗？

生（齐）：可以。

师：为什么可以用等号连接？

生：算式虽然不同，但求的都是圆片总个数，可以用等号连接。

师：我们不仅可以通过实际情境去解释，还可以通过计算来判断两个算式是否相等。

【评析】改变教材中的情境，利用圆片图导入，通过提出问题“一共有多少个圆片”，让学生从不同角度进行思考。由于圆片的排列可以横着看，也可以竖着看，因此，学生很容易列出不同的算式，并结合圆片图理解5×3和3×5表示的意义。学生通过对圆片图的观察和计算，发现无论是5×3还是3×5，都可以直接算出圆片的数量，因此，两个算式可以用等号连接。

这个教学片段，通过计算一共有多少个圆片，让学生想出不同的算式。从解决同一个问题的两个不同算式可以用等号连接开始，学生逐步有了“不完全归纳”的推理意识，在情境中发现了“乘法交换律”的现象。

二、在变式中发现规律，掌握推理的模型

数学中探索规律的过程，实际上是合情推理与演绎推理综合运用的过程。过去教学中比较强调演绎推理，弱化了合情推理，影响了学生创造力的培养。规律的探究，不能简单地从一个现象出发，而是要通过一个现象，逐步发现一类现象，通过变式的形式，让学生在“同”与“不同”中，逐步掌握推理的模型。

【片段二】

师（出示图2）：再次聚焦大屏幕，我们的圆片要发生变化了。你们能快速说出算式并计算圆片个数吗？

图2

生1：4×6。

生2：6×4。

师：这两个式子之间可以写等号吗？为什么？

生：可以。它们得数相同，而且都是求圆片的个数。

师：所以，我们也可以直接写成4×6=6×4。

【评析】在3行5列的圆片基础上，增加一行和一列，继续围绕问题“一共有多少个圆片”，让学生快速说出对应的不同算式4×6和6×4，并引导学生用等号进行连接。通过圆片的变化，继续求圆片的总数，在“变”与“不变”中，得出等式4×6=6×4。

本教学片段，在学生初步感知5×3=3×5之后，让学生写出另一组等式4×6=6×4，初步发现等式的特点，体会乘法交换律。学生初步学会类比推理，通过3行5列的探究过程，类比到4行6列的探究，逐步完成了“不完全归纳”的第一步：发现规律，使学生的推理意识逐步打开。让学生在给定的事物中发现、探求隐含的规律或变化趋势，突出探究规律的过程，体验探究和发现规律的方法，可以培养学生观察、分析、综合、归纳和推理等思维能力，增强学生的探究意识和学习数学的兴趣。

三、在举例中内化规律，形成推理的方法

学生在初步发现规律后，及时进行举例验证，在大量的例子下内化感知的规律。学生在举例过程中，逐步掌握推理的方法，形成推理的路径。举例验证是归纳过程中十分重要的一种非形式化的数学证明，它不仅丰富了学生的感知，也提高了归纳结论的可信度。

【片段三】

师：仔细观察这几个等式，你能照样子再写几个这样的等式，并和同桌说说你的发现吗？

0×1=1×0，11×23=23×11，123×77=77×123

师：你们能跟大家分享快速写出例子的秘诀吗？

生：只要把两个乘数交换位置再写上等号就行了。

师：那这样的等式是否成立？是不是还需要通过算一算来验证一下呢？

生1：两边的算式表示的意思是一样的，不用验证。

生2：选几个简单的算一下，两边得数都是相同的。

师：也就是说，大家找了很多例子，都是成立的对吗？而且觉得例子也非常广泛，不仅考虑了一位数乘一位数，还考虑到了两位数乘两位数、三位数乘两位数等。尤其是能考虑到特别的数0、1，使大家的例子更加全面。

【评析】根据两个圆片图得出两组等式，让学生进行观察比较，并进行仿写和验证。在举例过程中，教师引导学生注意举例的广泛性及特殊性，提出“怎样快速写出类似的例子？”这一问题，引发学生去感受规律并进行验证。同时，教师特意呈现一些特例，扩充举例验证，引导学生知道举例要更加全面。

在本教学片段中，让学生仿照两个等式，写出类似的等式，并通过交流“怎样很快地写出这些等式？”这一问题，内化乘法交换律。学生在举例的过程中，已经对“乘法交换律”有了一定的认识，在尝试应用规律进行举例的过程中，培养了推理意识。

四、在验证中得出结论，提炼推理的结论

不完全归纳推理，就是借助大量的例子来进行证明，从而发现某些规律，这些规律不一定正确，因此，需要借助模型进行举例。为了说明这个规律的可靠性，除了不断举例，还需要进行反例的寻找，用来总结规律。

【片段四】

师：例子举得完吗？大家举了这么多例子都成立吗？有反例吗？在这么多例子中，你发现了什么呢？

生1：交换两个乘数的位置，积不变。

生2：这就是乘法交换律：两个数相乘，交换位置后积不变。

师：你能用字母来表示发现的规律吗？

生（齐）：a×b=b×a。

师：看来大家都能从之前学的加法交换律中迁移探究出乘法交换律。

【评析】对于一个结论是否准确，除了大量举例，还需要进行反例的寻找，如果寻找不到反例，我们就可以提炼出一个结论。于是，根据例子中的乘数特点，发现“交换两个乘数的位置，积不变”，这就是乘法交换律。

在本教学片段中，通过寻找特例和反例的过程，让学生逐步用文字总结出“乘法交换律”，并能用字母表示。整个过程中，学生的推理意识逐步形成。

从教学出发，基于学生的发展特性，逐步培养学生的推理意识。在本节课中，对于不完全归纳推理的展开模式，教师让学生首先通过解决一个实际问题，观察到一个数学现象；接着尝试举例，寻找大量不同类型的例子，并寻找反例；最后，从大量的例子中进行抽象概念，并用符号表示出发现的规律。整节课，学生能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论。对于通过不完全归纳获得的结论，教师有必要引导学生基于已有的知识经验、现有的思维水平对结论进行解释说明，努力探寻结论的合理性，帮助学生习得科学的探究方法，培养其数学推理意识，促进数学理解，维护数学的严谨性，使学生的基础更为坚实。