基于HPM视角的高中数学教学研究

江苏省如皋市第一中学

任 丹

1 引言

HPM(HistoryandPedagogyofMathematics)是数学史与数学教育相结合的教学模式.在传统的数学教学中，相当一部分教师往往将教学重点放在知识点以及方法的应用上，学生很难在目的性较强的教学过程中构建完整的知识体系，机械化的学习活动也会让学生觉得数学学习缺乏趣味性.在新课改的大背景下，数学教学逐渐强调核心素养的培养与提升，尤其是数学文化在教学过程中的渗透.因此,基于HPM教学理念开展教学具有重要的理论与实践意义.本文基于教学实践经验，结合HPM理念，阐述了该模式的教学意义，并以“等差数列概念”教学为例，提出高中数学教学的实施路径，以期为广大师生提供教学参考.

2 渗透数学文化，树立数学观念

数学史是人类文化历史的重要组成部分，因此数学教育在重视知识与方法的基础上，还需要强化历史文化教育.HPM理念能够促使学生在学习数学史的过程中提升文化素养，感受知识与方法的起源与发展过程.在教学过程中，融入数学文化，可以帮助学生树立正确的数学观念，并通过数学史的学习发现数学之美，进而主动了解数学史，理解数学思维的产生与发展，感受知识与技能的更新与变化.

3 引发深度思考，提升思维能力

对于学生而言，数学学习在观察认知、空间想象、抽象概括等方面的要求较高.在核心素养的培养要求下，在教学中科学融入数学史，能够激发学生的深度思考，引导学生科学判断客观事物，准确揭示数学现象所包含的深刻含义.同时，数学史中包含了数学概念与数学方法的起源与发展历程，是前人长期研究总结的实践成果，具备高度的抽象性与凝练性，其中蕴含的思想能够提升学生的思维能力.

4 提升趣味性，激发学习兴趣

不同于物理、化学等理科学科，数学教学中基本不涉及实验等实践内容，以理论推导与应用为主，具有较强的抽象性，这一特征决定了数学学习难度大，容易使学生产生畏难情绪.然而，数学学科的发展包含了丰富的历史文化要素，教师可以在教学过程中科学融入这些历史文化内容，向学生展示相关概念定理的起源以及演绎过程，增强趣味性，激发学生的学习兴趣.

5 教学设计——以“等差数列概念”为例

笔者以“等差数列概念”为例开展数学史融入教学的研究，探究HPM理念的教学实施路径.

5.1 教材及学情

“等差数列”的教学内容在教材中是通过生活案例引入，帮助学生更好地理解教学内容，为教学活动奠定基础.与之类似，本教学设计是选用数学史内容来引入教学，增强学生的学习兴趣.

5.2 目标与重难点

知识与技能方面，旨在引导学生理解等差数列的概念以及通项公式；过程与方法方面，培养学生观察分析、归纳总结、自主探究与知识应用能力；情感与价值观方面，让学生体验由具体到抽象的认知演变规律，培养学生的探索精神，通过合作交流，培养学生的团结合作能力.

“等差数列”这节的重点是理解等差数列的概念以及通项公式并能简单应用，难点为通项公式的推导与应用.

5.3 教学过程

5.3.1 创设情境，引入概念

教师：古时候没有日历，那时的人们是怎么确定日期的呢？

学生1：可以用绳子系扣的方式，每天系一个扣，扣的个数就是天数.

教师：诸如这位同学的方法有很多，比如在石头、木头上刻记号等，但是如果起始日期不是每个月的第一天，那么记录的数据就不能直接使用.其实，在远古时期，人们就通过月相来记录日期，即根据月亮的圆缺来确定日期.大英博物馆收藏的一份公元七世纪的月相表，每个月的月相情况构成一组数列，如表1所示.观察表中的数据，分析这些数据之间的特点.

表1 大英博物馆收藏的月相表

学生2：月相数相邻两项之间的差值是相同的.

教师：具备这种规律的数列就是我们这堂课要学习的等差数列.如果从第二项开始，每一项与其前一项的差为某一常数，那么该数列就是等差数列，该常数就是公差，公差表示为d.

设计意图：借助数学史导入新课能够激发学生的求知欲与学习兴趣，让学生体会到数学知识的起源与发展历史，感受前人的智慧，加深学生对问题的思考以及对数学的喜爱，培养学生观察分析与归纳总结的能力.

5.3.2 抽象延伸，理解概念

教师：根据等差数列的定义，你能够用数学符号表达等差数列吗？

学生3：an+1-an=d，d为常数，n∈N*.

教师：根据等差数列的定义以及数学表达式，试判断以下数列是否为等差数列.

①-5，2，-5，2，-5，2.

②-2，2，4，6，8，10.

③6，6，6，6，6，6.

④1，3，5，7，9，11.

学生4：①不是等差数列，相邻项的差值为7和-7，不恒定；②不是等差数列，第一项与第二项的差值为4，之后相邻项的差值为2，不恒定；③和④均为等差数列，其中数列③公差为0，数列④公差为2.

设计意图：通过数学符号对等差数列的概念进行深入分析，借助具体问题加深学生对概念的理解，为后续的理解、记忆以及应用打下坚实的基础.

5.3.3 深入探索，公式推导

教师：我们现在已经掌握了等差数列的概念，那么如果数列a1，a2，a3，……，an为等差数列，公差为d，那么数列{an}任意一项的值与项数n之间存在什么关系？

在用累加法进行求解之前，教师可以引导学生自行探究，通过迭代的方式来确定表达式，即a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，以此类推可以得到an=a1+(n-1)d.

在迭代确定规律的基础上，教师可以引导学生进行累加计算：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…………

an-an-1=d.

教师引导学生观察以上算式，如果进行累加处理就可以消去一部分量，最终得到an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d，此式在n=1时依然成立.因此，在n为任意正整数的情况下该表达式恒成立，这就是等差数列的通项公式.

设计意图：通项公式的推导需要大胆猜想，通过找规律的方法能得到初步的结论，以此提升学生的自信心.公式的推导需要教师适当指导，通过迭代或者累加的方法证明学生的猜想，启发学生自主思考，培养学生的探究精神，丰富学生的归纳总结、猜想假设等数学素养.

6 总结

HPM教学理念对于数学教学具有重要的作用，但是在实际教学过程中，教师自身数学史知识的储备量、对数学史的理解、数学史料的收集途径等都会影响教师借助数学史开展数学教学的动力以及教学效果.因此，需要构建专门的教学资源平台，方便教师收集与整理资料，教师自身也需要加强积累，深化理解，不断优化数学史的教学效果.

综上所述，HPM的融入能够使数学教学体系更为完善，以培养并提升学生的学科素养.在教学过程中，教师需要将HPM理念简单视为一种教学形式，只追求数学史拼凑的教学方案很难优化教学效果.数学史在数学教学中的融入，不仅只局限在数学史教学层面，更应该体现在通过教学引导学生对数学史进行再创造，对数学史进行传承与创新.