反例教学法在高中数学教学中的应用

江苏省梁丰高级中学

施冬芳

美国数学家盖尔鲍姆提出：“数学由证明和反例构成，并朝着证明与反例构造发展.”反例是指通过变换事物的属性，引发思辨，从反面凸显出事物的本质属性的例证.证明是通过已知为真来确定某一事物的真实性，反例则是用已知为真揭露另一个判断是虚假的，两者的目的都是为了揭露事物的本质属性，它们呈相辅相成的关系.

新课标明确提出：“数学教学应用实例进行合情推理，让学生在猜测、探索、演绎推理中确定结论的正确性，或构造反例来驳回错误的猜想.”反例的构造能凸显概念及定理的本质特征，让学生在反思中发现错误，加深对知识的理解与掌握程度；同时，构造反例还可打开学生的逆向思维，帮助学生从反面理解所学知识，培养学生解决问题的能力.

1 反例法在分类讨论中的应用

任何一个结论的成立都离不开一定条件的辅助，每种数学思想方法的应用也有其相应的范围.高中数学相对复杂，不少问题的结论并不唯一，分析时需根据问题的特点，从若干类出发，将一个大问题转化为一个个小问题.这种根据实际情况分类，再逐个突破研究的数学思想就是常见的分类讨论思想.

然而，当我们遇到的命题似真似假时，利用反证法常会出现分类不全或假设错误，导致解题失败.而反例的构造，则能凸显问题的本质，快速解决问题.解题中，学生常会遇到一些问题无法直接求解，此时巧妙地从问题的反面进行分析，可使问题变得更加简单.

例1已知关于x的方程x2+2ax+2a2-1=0至少有一个负实数根，则实数a的取值范围是什么？

解析：此题若从正面来论证，需分别从三种情况来分析.①存在两个负实数根；②正、负实数根各一个；③存在一个零根，一个负实数根.

若分别讨论以上三种情况，不仅过程繁琐、冗长，还容易出现失误.本题若构建反例，设方程无负实数根时实数a的范围为A，则方程至少有一个负实数根时a的范围即为A的补集.

点评：本题若从正面论证，需耗费大量的时间与精力，而从反例的角度去分析，则使繁杂的问题变得简捷很多.因此，遇到分类讨论的问题时，不要受思维定式的影响，应从多角度去思考、分析问题，必要的情况下通过反例的构造，能让冗长的问题变得短小、精炼.

2 反例法在概念教学中的应用

高中数学概念比较抽象，有些学生在学习概念时不得法，凭借死记硬背来掌握概念，因对概念的内涵缺乏深刻理解，而导致在概念的表达或应用时错误百出.倘若在概念形成的教学阶段，能让学生从深层次剖析概念的内涵，辨析常见错误产生的原因，则能帮助学生从反面或侧面挖掘出概念的本质，建构完整的认知.将反例法应用到概念教学中，对一些基础薄弱的学生而言，能改变他们所存在的概念模糊或认识不完整的状况.

比如，对韦达定理的认识，学生的思维受原有认知经验的束缚，常认为两根之和为一次项系数的相反数，两根的积为常数项.妥妥地忽略了定理中一个很重要的条件：平方项的系数未必是1.

这是一个可以避免的错误，教师在教学时，可向学生提出：ax2+bx=c=0两根的和是-b，积为c，这种说法对吗？

若学生认为这种说法是错误的，教师就趁机追问，错在哪儿？

通过反例的构造，不仅能弥补学生思维中对韦达定理认识不全的问题，还能让学生对概念学习产生新的认识，为后期的学习奠定基础.

3 反例法在错题教学中的应用

教学中，不少学生受惯性思维的影响，解题时会想当然地按照自己的意愿给出相应的结论.为了避免思维定式带来的副作用，教师可引导学生在适当的时候应用反例，激发学生的认知冲突，通过矛盾的解决来获得问题的本质.

不论f(0)=0还是f(-x)=-f(x)的计算，这些错误发生的关键性因素，还是因为学生对于奇函数的定义没有达到深刻理解的程度，对f(0)=0的适用范围没有产生足够的认识.为了让学生找到错误产生的根源，避免此类问题的再次发生，笔者构造了反例问题，达到帮助学生纠错，提升思维的作用.

问题(1)a=1是怎么得到的？(根据f(0)=0得来.)

(2)是不是奇函数就一定有f(0)=0？(f(x)是奇函数时，f(-x)=-f(x)⟹f(-x)+f(x)=0，f(0)=0.)

(4)回顾第(2)个问题，来分析另一个学生的答案.(函数f(x)定义域为D，如果0∈D，根据f(0)=0可以得到a=1；如果0∉D，根据20+a=0⟹a=-1；也可以利用特殊值f(1)+f(-1)=0⟹a=±1.)

通过以上环环相扣的问题，容易发现，函数f(x)定义域为D，如果0∈D，就一定存在f(0)=0；而0∉D，f(x)为奇函数时，就一定存在20+a=0，a=-1.

随着设问、追问，以及反例的应用，学生经历了探究错误根源的过程，并在不断的思考、分析与推理中更进一步理解问题的本质.

正例与反例是相互对立又统一的关系，教学中若想单纯地凭借正例解决一切问题，这是不现实的.很多时候，反例能衬托出知识的核心，让不易发现的错误暴露于学生的思维中.因此，笔者常将反例法应用到错题教学中，以激活学生的思维，帮助学生提炼知识，达到融会贯通的目的.

4 反例法在特殊情况中的应用

特殊与一般是相互对立又相互依赖的关系，有些问题可把它们的特殊情形作为突破口，从独特的性质或变化规律中，找出解题途径，实现从特殊中发现一般的规律，又用特殊来否定一般的目的.因此，将反例应用于特殊情况中，是实现问题突破的重要方法之一.

例3判断正误：如果函数f(x)与其反函数f-1(x)的图象存在交点，那么此交点一定在直线y=x上.

面对此题，若从正面去判断比较麻烦，而反例的应用，则能使判断过程变得清晰，简洁.本题若用“函数y=-x”作为反例，即可判断，问题也就得以解决.但不少学生遇到此题时，并不能一下子就想到用反例法，这就需要教师在日常教学中多加引导，让学生有更多机会接触到类似的问题.如此，对培养学生的创新意识与逆向思维具有深远的影响.

其实，反例教学法除了应用于以上几种情况，还有更多、更广泛的应用范围，在此就不一一举例说明，但它对数学教学的重要影响有目共睹.教学中，教师应引导学生在恰当的时候，灵活应用反例，以增强学生对知识的理解，提高解题能力的同时形成良好的数学思想.

总之，反例教学法对数学概念、定义、解题等教学具有重要影响.它能提高学生对谬误的识别能力，锤炼学生的数学思维，为抽象逻辑思维与逆向思维的发展奠定基础，还能帮助学生形成辩证统一的思维品质，为学生的可持续性发展与数学核心素养的形成夯实基础.