例析无理数蕴含的数学思维与价值

高师

（平潭城关中学，福建 平潭 350400）

数学发展不是一帆风顺的，它需要为坚持真理而献身的精神。在约公元前550 年古希腊数学家毕达哥拉斯“万物皆数”（宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数的比），毕达哥拉斯的学生希伯索斯发现了边长为1 的正方形对角线长为，它是实实在在存在的一个数，既不是整数，也不是整数的比。他的发现让毕达哥拉斯惊骇极了。“万物皆数”的权威理论竞招来“天外来客”。这是数学史上的第一次数学危机，毕达哥拉斯既无法解释又不敢承认，只好将希伯索斯沉入爱琴海。

距今1800 年前，我国秦汉时期数学结晶《九章算术》第四章“少广”中记载了开平方和开立方法的运算。它说明“无限不循环小数”的发现，有着中国智慧和中国贡献，这种贡献承载着数学思想和文化的辉煌历史，成为人类文明的重要组成部分。让学生感受到中华文化渊源流长，培养家国情怀，增强文化自信。在教材引课中渗透数学文化，介绍数学史上第一次危机，不但能够调动学生学习积极性，引发思考，还能起到很好的德育效果。

初一学生在课前对无理数有一定的了解，但对无理数产生过程不了解，对身上的数学思想更不了解。本节课通过五个教学活动，既要让学生感受无理数存在的必要性和合理性，也要让学生感悟身上的数学思维品质。

（一）在观察发现中渗透数形结合的思想

图1

图2

（二）在多方验证感悟中渗透转化思想

设计意图：这里渗透了形数转化的思想。面积是几何问题，通过面积反求边长则是几何向代数的转化。要用数学概念、方法和结论来认识理解和表达现实世界，就要让学生经历将实际问题转化为数学问题的过程，这个过程体验越深，学生用数学的思维方式来思考，用代数方法解决几何问题的感悟就越深。

（三）在夹逼活动中感知代数推理

4.在计算器的应用中体验科技文化

活动4：用计算器求算术平方根，估计非负有理数的算术平方根，鼓励学生借助计算器求一个非负有理数a 的算术平方根。

活动5：介绍我国古代劳动人民智慧算法：

设计意图：体会古人的智慧；古代算法解决了用笔算求出一个非负数的算术平方根值的大小，这一过程本质上是对无理数进行“有理化”处理，是迎合学生对“数”的表达形态的习惯性理解。但是，这种有理化处理是“没完没了”的，结果是无限不循环的，因而，学生在这一教学过程中感悟无理数的两种表达方式——无限不循环小数的表述形式和根号的表示形式（简洁而方便）。这样，既能培养学生计算能力，养成良好的计算习惯，也让学生体会的内涵。史宁中教授在2022 年版新课标解读中强调，教师要像保护自己的眼睛一样保护孩子们的奇思怪想。在课堂上学生自然会有对任意数进行开平方笔算的探究欲望，如：圆周率π 能算吗？是不是所有的无理数都可以用笔算？……

四、引导探寻数学价值

苏霍姆林斯基说过，教师要尝试把独立发现问题的路让学生们自己尝试地去走，要尝试把独立解决问题的方法让学生们自己去试，要尝试让学生借助已有的知识去获取新知，大胆地让学生们主动寻找问题的“可疑点”来获取知识，让学生们的智力在数学课堂中因“疑点”而“起飞”。教师的作用是在于让学生亲身经历数学学习的全过程，努力促进学生由“被动学习”向“主动探究”转化。要逐步由“以教会为目的”向“会学为目标”转变，让学生动脑阅读教材，把能依靠自身努力获得的知识先行纳入自己的知识系统。［2］在“探究无理数值的大小”的教学过程中，要引导学生自己探寻得到，其核心是对“探究”的定位与理解。一是探究的存在。无疑，这种探索不只是对数学历史的挖掘和回味，更是对几何形态与代数抽象的揭示：求面积为2 的正方形边长是很现实的几何问题。既然是边长，那么它就是一个具体的量，并表现为具体的数值，从中可以感悟的存在。因而，学生的探究要始终围绕知识产生与发展来展开，要以学生经历动手操作的过程中才能实现这种感悟。只有让学生体会到有理数可以用数轴上的点表示出来，无理数也可以用数轴上的点表示出来，几何形态与代数抽象的初步感悟才有基础。二是探究值的大小。通过作图的方式在数轴上直观地刻画的大小，这种探究虽然直观、具体，但对学生而言还是不够的。因为，既然是一个数，那么它到底有多大？这是十分符合学生思维逻辑思考的。因此，用夹逼的方式来逐步探究大小，自然地成为学生乐意进行的自主活动；“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”我国古人用笔算的大小，就是用到的有理化计算。此时的才真正成为学生自己探寻得到的，才是教学的价值。此时的教师应该只是学生活动的欣赏者和激励者。三是对任意数的开方运算的探究。虽然，这不是这节课教学的重点，但是，由于有的笔算过程的演示，学生自然就会有对任意数怎样进行开方笔算的探究欲望。这是很自然的思维迁移，也是教师时刻要关注和保护的学生的学习思维品质。

除此以外，注重数学知识的结构，通过结构化教学，让学生对所学的数学知识进一步深化，对相关的数学思想、解题方法进行归纳总结，从而提升学生的数学思维品质，［3］也是本节课堂教学的目标。教师不只是教这个数，学生也不只是仅仅认识这个无理数；只是实数数系中的一个，要将它放在无理数的大家庭中来认识。这样才能够让学生在身临其境中获得几何形态与代数抽象的直觉结构化情境。