浅谈平方根、算术平方根的几点异同

时学顶

平方根､算术平方根是实数中两个比较重要的概念.因为它们的定义相近,联系紧密,所以初学的同学很容易混淆.为帮助同学们区分这两个概念,现将它们的区别与联系总结如下.

一､区别

1.概念的区别

平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 例如:32=9,3是9的平方根,(-3)2=9,-3也是9的平方根,即3和-3都是9的平方根.

算术平方根:一般地,如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根.例如:32=9,正数3是9的算术平方根.虽然(-3)2=9,但-3不是9的算术平方根.

2.书写方法的区别

平方根:一个非负数a的平方根记做±.例如,3的平方根记做±.

算术平方根:一个非负数a的算术平方根记做.例如,3的算术平方根记做.

3.个数的区别

平方根:一个正数有两个平方根,并且它们互为相反数.例如,25的平方根有两个,一个是5,另一个是-5.

算术平方根:一个正数的算术平方根只有一个,且这个数是正数.例如,25的算术平方根只有一个,是5.

注意,0是一个特殊的数.因为只有0的平方等于0,所以0的平方根和算术平方根都只有一个,即它本身.

二､联系

1.包含关系

一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根,一个正数的正的平方根即是这个数的算术平方根.例如,的两个平方根是±,其中是的算术平方根.

2.取值范围相同

只有非负数才有平方根,负数没有平方根;只有非负数才有算术平方根,负数没有算术平方根.一个数没有平方根,它也一定没有算术平方根.

三､常见题型

例1 求下列各数的平方根.

(1) 144;(2) ; (3) 0;(4) (-4)2.

解析:(1)因为(±12)2=144,所以144的平方根是±12.

(2)因为±2=,所以的平方根是±.

(3)因为02=0,所以0的平方根是0.

(4)因为(-4)2=16=(±4)2,所以(-4)2的平方根是±4.

点拨:解第(4)题时要慎重.对于这类有运算的题目,不妨先计算出来再求平方根.

例2 求下列各数的算术平方根.

(1) 256; (2) ; (3) (-0.9)2; (4) .

解析:(1)因为(±16)2=256,所以256的平方根是±16.取正的平方根,则256的算术平方根是16.

(2)因为±2=,所以的平方根是±.取正的平方根,则的算术平方根是.

(3)因为(-0.9)2=0.81,而0.81的平方根是±0.9,取正的平方根,则(-0.9)2的算术平方根是0.9.

(4)因为=9,而(±3)2=9,所以的算术平方根是3.

点拨:解(3)､(4)题要小心,不要想当然,要算出结果后再计算.

例3 判断下列说法是否正确,并说明理由.

(1)4是16的平方根;(2)16的平方根是4.

解析:(1)正确,因42=16,所以4是16的平方根.

(2)不正确,因(±4)2=16,所以16的平方根是±4.

例4 下列说法中正确的是().

A. -6是(-6)2的算术平方根B. 64的平方根是±8

C. 3是-9的算术平方根 D. 16的算术平方根是±4

解析:只有非负数才有平方根和算术平方根,所以选项C是不对的;一个正数有两个平方根,其中正的平方根才叫算术平方根,所以选项A ､D是不对的.故应选B.

点拨:解答本题的关键,是理解､掌握平方根和算术平方根的概念与意义.

求下列各式的值.

(1)±; (2);(3)-; (4)-.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文