高三数学综合测试

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)

1.已知集合A={x|1

(A){0,3,4,5} (B){0,1,3,4,5}

(C){0,4,5} (D){0,1,4,5}

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

3.已知平面向量a=(1-x,3+x),b=(2,1+x),若a·b=4,则a与b的夹角为( )

6.如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长和高的比值为t，若点E是棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的正切值为( )

7.设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4),且f(x+1)是奇函数，则( )

(A)f(x)是偶函数

(C)f(x)是奇函数

8.已知点A在圆C:x2+y2-2x-2y-2=上，点M(-2-3m,4m),N(-2-3n,4n),m≠n，若对任意的点A，总存在点M，N，使得∠MAN≥90°，则|m-n|的取值范围为( )

(A)[2,+∞) (B)[1,2]

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分,计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.为了解某地夜间居民区噪声污染情况，某检测机构对当地一小区夜间30分钟内的声音强度进行监测，并得到如下折线图.则下列说法正确的是( )

(A)第17分钟的声音强度最大

(B)前15分钟声音强度的平均值小于后15分钟声音强度的平均值

(C)前15分钟声音强度的标准差小于后15分钟声音强度的标准差

(D)前15分钟声音强度的极差大于后15分钟声音强度的极差

11.已知O为坐标原点，经过点M(1,m)且斜率为k的直线l与双曲线x2-y2=1相交于不同的两点P，Q，则( )

(A)x1+x2+x3的取值范围为(2,3)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，计20分)

13.已知随机变量X～N(1,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(X≤2)=______.

14.已知等比数列{an}中，a15=15,则9a9+a21的最小值为______.

15.若对任意的x∈[1,4],都有x|x-a|>x2-3x+4,则实数a的取值范围为______.

四、解答题(本大题共6小题，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

在∆ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c______.

(1)求A;

(2)若AB=3AC,且∠BAC的平分线上的点D满足BD=CD，求∠BDC.

注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

(1)求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望;

(2)设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率.

19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn且满足2Sn=an+n2+λn+1(λ为常数).

(1)若λ=1,求S100;

(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列?若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由.

20.(本小题满分12分)如图(a),在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=2,将∆ACD沿AC折起，使得点D到点P的位置，如图(b).设经过直线PB且与直线AC平行的平面为α，平面α∩平面PAC=m，平面α∩平面ABC=n.

(1)证明:m∥n;

(1)求抛物线Ω的标准方程;

(2)设点A(0,-4),B(8,4),若过A的直线与抛物线Ω交于不同的两点M，N，且直线MB与抛物线Ω交于点Q(不同于点M),问直线QN是否经过定点?若经过，求出定点坐标;若不经过，请说明理由.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)判断f(x)的零点个数.

参考答案

一、单项选择题

1.B;2.D;3.B;4.D;5.B;

6.C;7.C;8.A.

二、多项选择题

9.ABC;10.AB;11.AD;12.ACD.

三、填空题

13.0.7;14.90;

四、解答题

17.(1)选条件①

选条件②.

选条件③.

18.(1)在1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为ξ，则ξ的所有可能取值为1,0,-1.

ξ10-1P1471216

19.(1)由条件，得2Sn=an+n2+λn+1,2Sn-1=an-1+(n-1)2+λ(n-1)+1(n≥2),两式相减得2an=an-an-1+2n-1+λ，即an+an-1=2n-1+λ(n≥2).

(2)存在λ=-2,使{an}为等差数列.具体理由如下.

当n=1,2,3时,易得a1=λ+2,a2=1,a3=λ+4.假设存在λ，使{an}为等差数列，则a1+a3=2a2，解得λ=-2.

所以an+an-1=2n-3(n≥2),有an+1+an=2n-1,从而an+1-an-1=2(n≥2).故{an}的奇数项构成等差数列,偶数项也构成等差数列,且公差均为2.

20.(1)因为AC∥平面α，AC⊂平面PAC，平面α∩平面PAC=m，所以AC∥m.

因为AC∥平面α，AC⊂平面ABC，平面α∩平面ABC=n，所以AC∥n，进而m∥n.

所以抛物线Ω的标准方程为x2=8y.

设点Q(x3，y3),则同理可得直线QM的方程为(x1+x3)x-8y-x1x3=0,直线QN的方程为(x2+x3)x-8y-x2x3=0.

若00,f(x)在(0,a)单调增;当x∈(a,1)时,f′(x)<0,f(x)在(a,1)单调减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调增.

若a=1,则f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)单调增.

若a>1,则当x∈(0,1)时，f′(x)>0,f(x)在(0,1)单调增;当x∈(1,a)时，f′(x)<0,f(x)在(1,a)单调减;当x∈(a+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(a+∞)单调增.

综上，当0

在(0,+∞)单调增;当a>1时，f(x)在(0,1), (a+∞)单调增，在(1,a)单调减.

综上,f(x)的零点个数为1.