一道向量模考试题的解法探究*

刘 琼

(浙江省衢州市第二中学,324000)

一、试题呈现

已知平面向量a,b,c满足|a-b|=a·b+1,|a|=|c|=1,则|3a-b+c| 的最小值为______.

二、解法探究

又|a|=1,所以1+b2=(a·b)2+4a·b+1,整理可得b2=(a·b)2+4a·b.

所以|3a-b|2=9a2+b2-6a·b=9+[(a·b)2+4a·b]-6a·b=9+(a·b)2-2a·b.

由|a-b|=a·b+1,两边平方可得x2-2x+1+y2=x2+2x+1,即y2=4x.

评注解法2运用坐标法,思路清晰、计算简洁.

解法3假设a·b<0,则a·b+1<1,-2a·b>0，结合|a|=1,可得(a-b)2=a2+b2-2a·b=b2-2a·b+1>b2+1≥1,亦即|a-b|>a·b+1.这与|a-b|=a·b+1 相矛盾,所以假设不成立,亦即a·b≥0.

若a·b>0,记向量a与b的夹角为θ,则当θ=0时,a·b+1=|a||b|cos 0+1=|b|+1=|b|+|a|>|a-b|,与|a-b|=a·b+1 相矛盾,故θ≠0.

当b=0时,点B与点O重合,而AO=OK,所以点B到定点A的距离和到定直线l的距离相等.由抛物线的定义,点B的轨迹为一条抛物线(记为C),定点A为抛物线C的焦点,定直线l为抛物线C的准线.

如图2,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,由AO=1,易得抛物线C的方程为y2=4x.

评注解法3根据已知条件,结合抛物线的定义,揭示了命题的几何模型;再建立平面直角坐标系,通过代数运算推出结果,显示了几何与代数的完美衔接.

三、结束语

我们在向量教学的过程中,要注意突出几何直观与代数运算之间的融合,让学生充分感受数形结合思想;使学生在掌握“四基”、提高“四能”的过程中,学会有逻辑地、创造性地思考,形成数学的思维方式,发展理性思维,养成科学精神.