(α,β)-γ-正则开集和(α,β)-γ-极不连通空间

吴耀强

(宿迁学院 文理学院,江苏 宿迁 223800)

自从文献[1-2]引入半开集和算子概念以来，许多拓扑学者先后定义了一些不同形式的近似开集.如文献[3-4]分别给出了两种推广型开集——α-开集、γ-开集，并进一步研究了它们相应的连通性、分离性；文献[5-6]分别提出双算子开集；文献[7]给出多算子开集并得到一些新的结果. 此外，文献[8]提出极不连通空间概念后，极不连通空间也成为拓扑学者研究的课题之一[9-15]. 论文继续基于(α,β)-γ-开集给出多算子正则开集概念，进一步研究(α,β)-γ-极不连通空间和(α,β)-γ-超连通空间，并利用(α,β)-γ-正则开集得到(α,β)-γ-极不连通空间的拓扑刻画.

论文中X是非空集合，(X,T)是拓扑空间(或简称X是拓扑空间)，并用P(X),T,F分别表示X的幂集族、开集族与闭集族.设A⊂X，用cl(A),int(A)分别表示为A的闭包与内部.论文未申明的概念与记号均引自文献[1,7].

定义1[2]设X是拓扑空间，设α:T→P(X), 若对于任意V∈T，均有V⊂α(V)，则称α为在集合X在T上的一个算子，或简称α为T的一个算子.

定义2[3，5，7]设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，A,B,C⊂X，有

(1) 若∀x∈A，总存在U∈T，使得x∈U且α(U)⊂A，则称A是α-开集，并记Tα为α-开集族；

(2) 若∀x∈B，总存在U∈Tβ，使得x∈U且α(U)⊂B，则称B是(α,β)-开集，并记T(α,β)为(α,β)-开集族；

(3) 若∀x∈C，总存在U,V∈Tγ，使得x∈U,x∈V且α(U)∪β(V)⊂C，则称C是(α,β)-γ-开集，XC是(α,β)-γ-闭集.记T(α,β)-γ，F(α,β)-γ分别为(α,β)-γ-开集族和(α,β)-γ-闭集族，cl(α,β)-γ(C)=∩{F|F∈F(α,β)-γ,且C⊂F}，int(α,β)-γ(C)=∪{U|U∈T(α,β)-γ,且U⊂C}，并称cl(α,β)-γ(C),int(α,β)-γ(C)分别为C的(α,β)-γ-闭包与(α,β)-γ-内部.

由上述定义易知α-开集族、(α,β)-开集族、(α,β)-γ-开集族均保持集合的并运算.

定义3[2]设X是拓扑空间，α为T的算子，若x∈X，对于任意U,V∈T，其中x∈U,x∈V，总存在W∈T且x∈W，使得α(W)⊂α(U)∩α(V)，则称α为T的正则算子.

定义4设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，若x∈X，对于任意U,V∈Tγ，其中x∈U,x∈V，总存在W∈Tγ且x∈W，使得α(W)⊂α(U)∩α(V)，则称(α,γ)为T的正则双算子.

命题设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，对于∀C1,C2∈T(α,β)-γ，则C1∩C2∈T(α,β)-γ.

证明设C1,C2∈T(α,β)-γ，对于∀x∈C1∩C2，有x∈C1且x∈C2.由定义2(3)知，存在Ui,Vi∈Tγ，使得x∈Ui,x∈Vi且α(Ui)∪β(Vi)⊂Ci(这里i=1,2)，有

(α(U1)∩α(U2))∪(β(V1)∩β(V2))⊂(α(U1)∪β(V1))∩(α(U2)∪β(V2))⊂C1∩C2.

(*)

既然(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，根据定义4可知，存在W1∈Tγ且x∈W1，使得α(W1)⊂α(U1)∩α(U2)，以及存在W2∈Tγ且x∈W2，使得β(W2)⊂β(V1)∩β(V2)，根据(*)可得α(W1)∪β(W2)⊂C1∩C2，故C1∩C2∈T(α,β)-γ.

定理1[7]设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，A,B⊂X，则下列结论成立：

(1)x∈cl(α,β)-γ(A)⟺∀C∈T(α,β)-γ且∀x∈C，有C∩A≠∅ ；

(2) int(α,β)-γ(A)⊂A⊂cl(α,β)-γ(A) ；

(3)A⊂B⟹cl(α,β)-γ(A)⊂cl(α,β)-γ(B),int(α,β)-γ(A)⊂int(α,β)-γ(B) ；

(4)A∈F(α,β)-γ⟺cl(α,β)-γ(A)=A；B∈T(α,β)-γ⟺int(α,β)-γ(B)=B；

(5) cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(A))=cl(α,β)-γ(A)， 即 cl(α,β)-γ(A)∈F(α,β)-γ；int(α,β)-γ(int(α,β)-γ(B))=int(α,β)-γ(B)， 亦即 int(α,β)-γ(B)∈T(α,β)-γ；

(6) 设(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，∀C∈T(α,β)-γ，有cl(α,β)-γ(A)∩C⊂cl(α,β)-γ(A∩C)，∀D∈F(α,β)-γ，有int(α,β)-γ(B)∪D⊂cl(α,β)-γ(B∪D)；

(7) 设(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，有cl(α,β)-γ(A∪B)=cl(α,β)-γ(A)∪cl(α,β)-γ(B)，int(α,β)-γ(A∩B)=int(α,β)-γ(A)∩int(α,β)-γ(B)；

(8) cl(α,β)-γ(XA)=Xint(α,β)-γ(A)，cl(α,β)-γ(A)=Xint(α,β)-γ(XA)，int(α,β)-γ(XA)=Xcl(α,β)-γ(A)，int(α,β)-γ(A)=Xcl(α,β)-γ(XA).

定义5设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，D⊂X，若cl(α,β)-γ(D)=X，则称D为X的一个(α,β)-γ-稠密子集.

定义6设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，U，V⊂X，有：

(1) 若U=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))，则称U为X的一个(α,β)-γ-正则开集；

(2) 若V=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))，则称V为X的一个(α,β)-γ-正则闭集.

注1(α,β)-γ-正则开集与正则开集是两个独立的概念.

定理2设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，U,V⊂X，有

(1)U⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))⟺cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))；

(2)V⊃int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V)))⟺int(α,β)-γ(V)=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))).

证明仅证结论(1) ,结论(2)可类似给出证明.

“⟹”.设U⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))，知U⊂cl(α,β)-γ(U)⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))；另外，易知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))⊂cl(α,β)-γ(U)，由定理1可得cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))⊂cl(α,β)-γ(U)，从而cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))).

“⟸”.由于U⊂cl(α,β)-γ(U)，显然可得U⊂cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))).

推论设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，U⊂X，有

引理1设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，U,V⊂X，有

证明仅证结论(1) ,结论(2)可类似给出证明.

一方面，由于int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))，显然可得

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))⊂cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)).

由int(α,β)-γ(U)⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))可得

int(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))，

即int(α,β)-γ(U)⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))，故

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))⊂cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))，

故

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))，

引理2设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，U,V∈T(α,β)-γ，则有如下结论：

(1) int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))；

(2) cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))∪cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∪V)).

证明仅证结论(1) ,结论(2)可类似给出证明.

利用定理1(6)，(7)知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V))⊂

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩cl(α,β)-γ(V)))⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)).

另外，由于cl(α,β)-γ(U∩V)⊂cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)，可得

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V))=

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))，

从而得证.

引理3设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，若X中任意两个无交的(α,β)-γ-开集的(α,β)-γ-闭包无交当且仅当X中任意两个无交的(α,β)-γ-正则开集的(α,β)-γ-闭包无交.

证明“⟹”显然.

1 (α,β)-γ-极不连通空间

定义7设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，若 ∀U∈T(α,β)-γ，有cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ，则称X为(α,β)-γ-极不连通空间.事实上，也可以给出(α, β)-γ-极不连通的等价定义：若 ∀V∈F(α,β)-γ，有int(α,β)-γ(V)∈F(α,β)-γ.

定理3设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，则下列条件等价：

(1)X为(α,β)-γ-极不连通空间；

(2) ∀U,V∈T(α,β)-γ,若U∩V=∅，则cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=∅；

(3) ∀U∈T(α,β)-γ,D⊂X，若U∩D=∅，则cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D)))=∅.

证明(1)⟹(2).∀U,V∈T(α,β)-γ,且U∩V=∅，易得cl(α,β)-γ(U)∩int(α,β)-γ(V)=∅，进而cl(α,β)-γ(U)∩V=∅，从而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩cl(α,β)-γ(V)=∅，故cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=∅.

(2)⟹(1).设U∈T(α,β)-γ,易知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))⊂cl(α,β)-γ(U)，且XU∈F(α,β)-γ,即int(α,β)-γ(XU)∈T(α,β)-γ，当然U∩int(α,β)-γ(XU)=∅.可得cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=∅，根据定理1可知cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(Xcl(α,β)-γ(U))=∅，即cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=∅，所以cl(α,β)-γ(U)⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)).于是cl(α,β)-γ(U)=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))，即cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ,从而X为(α,β)-γ-极不连通空间.

定理4设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，则下列条件等价：

(1)X为(α,β)-γ-极不连通空间；

(2) ∀U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V)；

(2*) ∀U*,V*∈F(α,β)-γ,有int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*)；

(4) ∀U,V∈T(α,β)-γ,有int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∪V))；

(4*) ∀U*,V*∈F(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V*))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*∩V*)).

证明(1)⟹(2).由于X为(α,β)-γ-极不连通空间，则∀U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U),cl(α,β)-γ(V)∈T(α,β)-γ，且cl(α,β)-γ(U∩V)∈T(α,β)-γ，进而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(U)，int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(V)，则int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)，又由引理2知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))=cl(α,β)-γ(U∩V)， 故cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V).

(2)⟹(1) .设U∈T(α,β)-γ,则XU∈F(α,β)-γ,且int(α,β)-γ(XU)∈T(α,β)-γ,由条件(2)可得，cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(U∩int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(∅)=∅.此外，由定理1可知，cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))，故cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=∅.从而cl(α,β)-γ(U)⊂int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)).另一方面，显然有int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))⊂cl(α,β)-γ(U)，进而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(U)，这样便有cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ，即证X为(α,β)-γ-极不连通空间.

(2)⟺(2*).对于∀U*,V*∈F(α,β)-γ,显然XU*,XV*∈T(α,β)-γ,由条件(2)可知cl(α,β)-γ(XU*)∩cl(α,β)-γ(XV*)=cl(α,β)-γ((XU*)∩(XV*))=cl(α,β)-γ(X(U*∪V*)).此外，由定理1得cl(α,β)-γ(XU*)∩cl(α,β)-γ(XV*)=(Xint(α,β)-γ(U*))∩(Xint(α,β)-γ(V*))=X(int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*))，又cl(α,β)-γ(X(U*∪V*))=Xint(α,β)-γ(U*∪V*)，有

int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*).

(2)⟹(3).显然.

另外，由于U,V∈T(α,β)-γ,故U=int(α,β)-γ(U),V=int(α,β)-γ(V)，且U∩V=int(α,β)-γ(U∩V)，这样cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V).另一方面，cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∩V))))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∩V))=cl(α,β)-γ(U∩V)，因此cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V).

(3)⟺(3*).∀U*,V*∈F(α,β)-γ,令U=XU*,V=XV*.

(2*)⟺(4*).显然.

(1)⟹(4).由于X为(α,β)-γ-极不连通空间,则∀U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U)，cl(α,β)-γ(V)∈F(α,β)-γ，由(2*)知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∪cl(α,β)-γ(V))=

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∪V)).

(4)⟹(1).对于∀U*,V*∈F(α,β)-γ,则int(α,β)-γ(U*)，int(α,β)-γ(V*)∈T(α,β)-γ,由条件(2)可得，int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*)))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*∪V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*)))).根据引理1知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*))))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*))=int(α,β)-γ(U*∪V*).

此外，由定理1可知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V*))=int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)，

故

int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*)，

根据(2*)即证X为(α,β)-γ-极不连通空间.

(4)⟺(4*).∀U*,V*∈F(α,β)-γ,令U=XU*,V=XV*.

2 (α,β)-γ-超连通空间

定义8设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，若X的任意非空(α,β)-γ-开集U均为X的(α,β)-γ-稠密子集，则称X为(α,β)-γ-超连通空间.

注2由定义8易知X为(α,β)-γ-超连通空间，则X为(α,β)-γ-极不连通空间.

证明“⟹”.事实上，X的(α,β)-γ-正则空间中仅有两个元素∅，X.否则，假设存在(α,β)-γ-正则开集D⊂X(即D=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D)))，这里D≠∅,D≠X.易知D为(α,β)-γ-开集，由假设知X为(α,β)-γ-超连通空间，因此int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D))=int(α,β)-γ(X)=X，这样D=X，故矛盾.

cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=cl(α,β)-γ(X)=X，

即U为X的(α,β)-γ-稠密子集，故X为(α,β)-γ-超连通空间.