也谈等腰三角形的美好性质

张宁

1 对文[1]中结论的分析

一方面，“等腰三角形外（内）有条过顶点的直线”中，“顶点”指代不明确，等腰三角形的顶点有“顶角顶点”和“底角顶点”之分，从文[1]中给出的证明可以看出，这里的“顶点”指的是等腰三角形的“顶角顶点”；一条直线不可能在三角形的内部，“等腰三角形内有条过顶点的直线”这句话也值得商榷.另一方面，经过等腰三角形顶角顶点的直线与等腰三角形有三种位置关系：一是直线只经过等腰三角形的顶角顶点，直线与等腰三角形再无其它公共点；二是等腰三角形的一条腰在这条直线上；三是直线经过等腰三角形内部.当直线经过等腰三角形内部时，有一种情况结论是不成立的，即当经过顶角顶点的直线垂直或平分等腰三角形底边时，结论不成立.图1

如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直线l垂直或平分BC，底角顶点B、C到直线l的距离分别为BD、CE，显然垂足D、E重合，所以BD-CE=0，DE=0，故结论不成立.2 结论的改进

一条直线l经过等腰△ABC的顶角顶点A，过底角顶点B、C分别作直线l的垂线，若点B、C到直线l的距离分别为h1、h2，垂足间的距离为d，∠ABC=∠ACB=α，则

（1）当直线l只经过顶角顶点A，且与△ABC再无其它公共点；或△ABC的一条腰在直线l上时，h1+h2=dtanα；

（2）当直线l经过△ABC的内部（不与底边BC的垂直平分线重合）时，|h1-h2|=dtanα.3 结论的证明

对于结论（1），当△ABC的一条腰在直线l上时，h1与h2中有一个为0，由直角三角形的边角关系易知结论成立，证明从略.当直线l只经过顶角顶点A，且与△ABC再无其它公共点时，文[1]给出了四种证明方法，这里再给出两种简证.

如图2～3，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=α，直线l经过点A，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E，则BD=h1，CE=h2，DE=d.图2

证法1 如图2，取BC的中点F，过F作FG⊥l，垂足为G，连接AF、EF.

易知∠AEC=∠AFC=90°，所以A、E、C、F四点共圆，所以∠AEF=∠ACB=α.易知四边形BCED是直角梯形，FG是它的中位线，所以DE=2EG，BD+CE=2FG，即EG=12d，FG=12（h1+h2）.

在Rt△EFG中，tan∠AEF=FGEG=h1+h2d，所以tanα=h1+h2d，即h1+h2=dtanα.圖3

证法2 如图3，取BC的中点F，连接AF.连接DF并延长，交EC的延长线于点G.

易知∠ADB=∠AFB=90°，所以A、D、B、F四点共圆，所以∠EDG=∠ABC=α.易知四边形BCED是直角梯形，△BDF≌△CGF，所以S梯形BCED=S△DEG.

易知S梯形BCED=12（h1+h2）d，S△DEG=12d2tanα，所以12（h1+h2）d=12d2tanα，所以h1+h2=dtanα.

对于结论（2），有如下简证.图4

如图4，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=α，直线l经过点A，且与底边BC相交（交点不是BC的中点），BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E，则BD=h1，CE=h2，DE=d.

取BC的中点H，连接DH、AH.延长BD到G，使DG=BD，连接CG，过G作GF⊥CE，垂足为F.

易知A、B、D、H四点共圆，所以∠ADH=∠ABC=α.

易知FG=DE=d，CF=CE-DG=CE-BD=|h1-h2|.

易知DH∥CG，AD∥FG，所以∠CGF=∠ADH=α.

在Rt△CFG中，tan∠CGF=CFFG=|h1-h2|d，所以tanα=|h1-h2|d，即|h1-h2|=dtanα.

参考文献

[1]周磊.等腰三角形的美好性质[J].中学数学杂志，2018（4）：38-40.