一道数列竞赛题的探源、求解与拓展*

山东省宁阳县复圣中学(271400) 张志刚

1 题目呈现

本题考查数列不等式的证明,重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 试题设计简洁清新,构思精妙,解法灵活, 意涵细腻, 饱含数学思想, 凝聚命题专家的智慧.与高考试题相比,本题涉及知识点更多,思维跨度较大,呈现出更强的综合性与选拔性.

2 题目探源

通过对题设条件和结论的比较发现,本题与以下两道高考试题同宗同源. 我们首先作简要回顾,并尝试从中捕获解题灵感,触发思维萌芽.

例1 (2012 年高考广东卷理科第19 题)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n ∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.

3 题目解答

4 拓展研究

数列是一类特殊的函数,是数学重要的研究对象,是研究其他类型函数的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用,无论在高考还是竞赛数学中都占有重要的地位. 而等差数列、等比数列是数列中两类具有明确背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值的数列. 很多复杂的数列问题往往需要转化为等差数列或等比数列问题,如本文讨论的数列不等式证明问题,解题的关键就是通过恰当的放缩技巧(如糖水不等式),将一般数列转化为等比数列这一基本数列,再利用等比数列的求和公式进行求和,进而证明不等式成立,问题错综复杂,又妙趣横生.