对高考中奇偶项数列问题的探究与思考

广东省广州市执信中学(510000) 陈少婉

奇偶项数列问题是近年高考考查的热点,2021 年高考全国Ⅰ卷第17 题,2020 年全国Ⅰ卷文第16 题,2014 年全国Ⅰ卷理第17 题,2012 年全国Ⅰ卷文第12 题,2019 年天津文第18题,2016 年天津理第18 题,2014 年山东理第19 题,文第19题都考查了奇偶项数列问题. 由于其抽象性和综合性,学生常常感觉无从入手. 下面我们通过对近年高考题中奇偶项数列问题的分析,寻找解决问题的一般途径.

1 对2021 年高考全国Ⅰ卷第17 题的研究

1.1 题目呈现

1.2 命题思路解读及试题的特点

题目以分段函数为载体,考查了由奇偶项数列递推公式求通项、等差数列通项公式、求和公式等内容,题目以文字题的方式呈现,通过设置课程学习情境和探索创新情境,考查了理性思维、数学探索等学科素养,逻辑思维能力、运算求解能力等学科关键能力,数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养以及分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想[2]. 题目比较新颖,以奇偶项穿插的分段函数形式给出,这就要求学生通过探索发现规律,通过逻辑推理证明规律并求解. 学生必须透彻理解数列的函数特性,找到自变量以及通项之间的对应关系才能顺利解题. 题目充分体现了去套路化、去刷题化的命题方向.

题目第一问通过分段函数的形式呈现奇偶项数列的递推关系,体现了基础性、综合性. 与以往出现过的常规题目不同的是,题目给出的是奇数项与偶数项之间的关系,这就需要学生通过演绎推理进行两次递推,得到偶数项与偶数项之间的递推关系,从而得到偶数项的通项公式. 由于题目给出条件的形式创新,带入了干扰信息,增加了学生通过演绎推理得到所需要的递推关系式的难度. 很多学生只能通过观察猜想得到通项公式,而缺乏有效的递推关系的证明.

题目第二问的难度要低于第一问,通过第一问分解了任务难度,在第一问求出偶数项通项公式的基础上,学生不难由奇偶项之间的关系得到奇数项的通项公式,从而进行求和,达到解题目标. 题目设置求前20 项的和,项数不多,充分考虑到基础薄弱学生的得分情况. 题目位于第17 题的位置,入口很宽,在第一问无法解出的情况下,学生仍然可以通过递推关系式把前20 项逐项求出,只是付出的时间成本不一样.解法之间的差异决定了耗时的区别,这也充分体现了题目的区分度和选拔功能.

1.3 主要解法及错因分析

第(1)问主要解法:

①当n=1 时,b1=2=3×1-1,显然成立.

②假设当n=k(k≥1,k ∈Z)时成立,即bk=3k-1.则当n=k+1 时,

从学生答题情况可以看出,学生主要的错误有: (1)第一问递推两步不完整或者完全没有递推,由合情推理(不完全归纳)得到a2n-a2n-2= 3,d= 3,第二问由a1+a2= 3,a3+a4=9,……不完全归纳得到an+an+1=6n-3,缺乏有效的逻辑证明.

(3)符号表达出错,如“{bn}=3n-1”或“bn是以b1=2为首项,公差为3 的等差数列”等不规范表述,主要错因是对数学符号的内涵不理解.

(4)第一问把题目中的奇数项加1,偶数项加2 颠倒过来,主要错因是读不懂题意或者失误造成.

(5)第二问采用全部罗列出来的方法,没有罗列完整或者列举不全,耗时多,计算出错. 主要原因是没有掌握解决奇偶项求和问题的一般方法.

2 奇偶项数列问题的教学策略与反思

2.1 洞悉本质,建构体系,关注联系

在复习数列板块时,要注意数列与函数、不等式等知识板块的联结. 从函数的观点看数列,挖掘数列的函数特征,利用函数的对应关系理解数列中的对应关系. 在教学中,奇偶项数列问题一直是学生比较困难的问题. 掌握此类问题的通性通法,关键在于如何让学生理解项数与对应项之间的关系.从函数的观点看,函数的对应法则可以通过列表的方式体现,同样,分析a2k中k的含义,也可以通过列表来体现项数与对应项之间的关系,让学生理解a2k中k的含义为在偶数列中的新排序. 如可列出如下表格帮助学生理解a2k=3k-1.

k 1 2 3···n-1 n_____对应项a2k a2 a4 a6 a2n-2 a2n对应值3×1-1 3×2-1 3×3-1 3×(n-1)-1 3×n-1

在教学中要让学生理解a2k=a2×k,它是偶数列的第k项,a2=a2×1,它是偶数列的第1 项,用n代换2k,则可得到an的通项公式,奇数项亦然.

同时,利用函数图像理解数列是图像上的孤立点,感受数列与函数的共性与差异,感受变量间的对应关系,理解求函数最值与数列最值的区别与联系等等[3]. 引导学生体会数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.

2.2 一题多解,归纳方法,总结思想

从2021 年高考全国Ⅰ卷第17 题的答题情况看,学生缺乏解决奇偶项数列问题的通法,常常感觉无从入手,有畏难情绪. 在教学中,要注意对学生处理此类问题方法的引导.

策略一: 转化与化归的思想. 奇偶项数列求通项时,把奇数项转化为偶数项,或者把所有的项转化为基本量a1,求和时,先求当n为偶数时Sn的表达式,再把n为奇数时Sn的表达式转化为n为偶数的情形.

策略二: 演绎推理. 由一般到特殊,先分析通项,一般可以通过并项求和或者分组求和解决奇偶项数列求和问题. 裂项构造也是求和经常用到的方法. 求和时可以利用基本量进行求和,不一定要求通项公式.

策略三: 合情推理. 由特殊到一般,代入特殊值或者通过递推公式找规律,得到结论,再通过演绎推理或者数学归纳法进行证明.

例题1 (2014 年山东理科第19 题)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.

2.3 变式训练,举一反三,突破难点

2.4 归纳猜想,逻辑推理,缺一不可

在解决数列问题时,学生经常对特殊项进行不完全归纳得到数学结论,对于数学结论的证明缺乏严谨性,演绎推理能力、数学语言表达能力欠缺. 在新课标中,数学归纳法的证明作为选学内容,不作为考试要求,但是数学归纳法的思想和原理对于培养学生逻辑思维能力和推理证明能力是很有帮助的,很多学生不理解完全归纳的必要性,导致解题中经常用猜想代替证明. 建议在教学中适当增加这部分的内容.另外,在教学中要结合命题的充要性,让学生加深对问题的理解和对逻辑推理必要性的认识.

总之,只有准确把握新课标要求,纵观高考真题,对比分析考点, 精准备考; 认真研读高考评价体系, 把握命题方向,关注考查维度,多角度覆盖;深入了解学生出错根源,针对痛点,突破难点,强化落实;认真反思总结,研究数学学科特点,关注数学逻辑体系、内容主线、知识板块之间的关联,注重思想方法的归纳和总结,才能使我们的高考备考更有效,更高效.