端点效应的万能解法

南京市金陵中学(210000) 郭 立

一、试题新解

在了解万能法之前,我们首先要明确哪些问题是端点效应问题,其解决问题的关键步骤是什么?

二、问题背景及解决步骤

我们经常遇到不等式恒成立求参数取值范围问题,例如,已知含参数m的函数f(x,m) ≥0 在区间[a,+∞)恒成立,其中f(a,m) = 0,求参数m的取值范围. (此类问题以上述情况为例,其它情况类似处理)

对于如上问题当参数分离法无法奏效时,我们归为端点效应类问题.

而通常情况下,我们在解决端点效应问题时一般先进行必要条件探路,而问题的难点是如何说明当参数不在必要条件的范围内时,找到端点的一个邻域范围内,使得不符合恒成立的条件. 在有些参考答案中,经常见到用放缩法结合零点存在定理去找邻域, 而放缩法却是很多同学学习的难点,从而将此类问题复杂化.

其实, 通过上述例题我们便可以提炼出一套万能解法,现在我们总结其一般解题步骤如下:

首先,求f′(x,m)及f′(a,m)的值,

(1)当f′(a,m)/= 0 时, 判断一阶导数f′(x,m)的单调性,此类问题中其均为单调递增函数. 接下来就可以按照万能解法的套路解题了. 分两种情况讨论:

三、灵活处理,举一反三

当然,有时候的万能法也不一定很顺利,我们可以看到,万能法的关键就是要证明导函数的单调性,那如果在单调性这里遇到困难时怎么办呢? 比如说下面的题目:

例3 设函数f(x) =(x2-a)ex,a ∈R,e 是自然对数的底数. 当x≥0 时,f(x)+x+a≥0,求a的取值范围.

分析 构造函数g(x) =(x2-a)ex+x+a,x≥0,g(0)=0.g′(x)=(x2+2x-a)ex+1,g′(0)=1-a.

首 先 讨 论g′(x) 的 单 调 性. 由 于g′′(x) =(x2+4x+2-a)ex,显然,g′′(x)的符号和y=x2+4x+2-a的符号一致,当x≥0 时,y=x2+4x+2-a≥2-a.