关注个性明确任务 统筹共性分层解决——与三角函数有关的导数问题处理

安徽省宿城第一中学(234000) 贺万一

1 问题背景

不管是在上一轮课改还是在本轮新教材的使用过程中,都有一节内容是: 正切函数的性质与图象,在本节之前对函数性质的研究,都是先得到函数的图象,再利用函数的图象去研究函数的性质. 在数学思想层面,属于数形结合. 而从性质到图象,首先是对函数解析式的分析,对函数定义的特征捕捉,进而通过数学运算和逻辑推理得到函数的性质. 在此基础上直观想象函数的图象与性质(比如奇偶性、周期性、单调区间等),要求更高,而且对必备知识、思想方法、核心素养的训练更加全面.

现在的模考题对函数与导数的考查大多是与指数和对数相结合,而且积累了大量的“套路”式解法,比如“对数单身狗”、同构,甚至“极值点偏移”到“极值点漂移”系列等等,而学生的解决办法往往是套模型,背题根. 对于素养的落实效果并不好,往往遇到一些综合性比较强的问题,就感觉难度极大,无从下手. 长时间下来,学生不想听,老师也就没法讲,看起来是放弃一道压轴题而已,留时间做其他的题可以得更多的分. 实际上对这一道题的“躺平”就意味着对一连串函数性质研究方法的放弃,损失巨大. 而且学生之所以对导数题望而生畏(排除有些模考题的导数题设计的技巧过于刁钻的情况)主要原因是不知道目标在哪. 本文以一节讲座形式的专题复习课为模板,与同行讨论此类问题的复习方略.

2 实例分析

2.1 重视“有界”个性;促成分类任务

评析 明确了任务之后,我们发现解决本题共分为三层,其中的第一层和第三层目标简单,非核心任务,所以考虑使用三角函数的“个性”直接观察. 很快就找到了切入点,顺利解决. 而第二层为本题的核心任务,综合考查学生的转化与分析能力,即考查学生对函数共性的处理能力. 如果没有把任务明确,分层不清,极有可能考生自己绕进去抓不到重点,或者畏难而直接放弃.

2.2 重视“诱导”个性;促成换元任务

评析 本题最大的难点就是“看上去很难”,甚至计算量也不大. 但是在笔者某次讲座讲解完本题的解答过程后还有学生发出感慨:“这谁能想得到”. 如果整体看这一题,确实不容易. 但是先明确任务,层层剖析,函数的独特性质又是在每个路口自然形成的下一层的分类标准或者方向指引. 学生之所以对这种自然的分析感觉很别扭,主要是因为中“套路”的毒太深,无法从必备知识的角度提升相应的核心素养,所以就没有形成分析问题的关键能力.

2.3 重视“单调”个性;促成复合分析

例3 (节选自2022 届宿州市高三质检理科第22 题)已知函数f(x) =axcosx+2ax-sinx,a ∈R. 若不等式f(x)≥0 对任意x≥0 恒成立,求实数a的取值范围.

2.4 重视“周期”个性;促成归纳分析

分析1 本题是本文例2 的“母题”,三角函数与指数函数相结合的函数与导数类型,难度较大. 从第一问开始,就需要较为深入的分析. 特别是到了第(3)问,三角函数“个性”十足,除了有一个隐约的“可能与周期性有关”的感觉之外,并没有特别明确的解题方向,只能先逐步分析,及时观察,找机会利用函数的个性与共性相结合进行逐层剖析.

3 反思与感悟

教学生学会思考,发展学生的认知能力,是数学教学的根本目标. 函数内容为高中数学学习的主干知识,而且内部关联密切,方法多样. 一直受到高考压轴题的青睐,是承载考查学生综合思维的最好载体之一. 在教学中,我们要引导学生会思考,会学习,特别在“双减”的大背景下,使学生复习更高效,是我们在课堂教学或者高三解题教学的重要任务. 在处理函数与导数题型时,我认为要引导学生做到以下两点.

3.1 确定研究对象,找到主要任务

开始解题前一定要做解题路径分析,明确本题的主要任务,只有任务清晰,才能有方向的推进. 否则,看起来好像推进了不少,实际上有可能都是原地踏步,甚至是南辕北辙. 时间长了,学生会形成一种惰性思维: 不管会不会,先写一点,巧了就做出来了;做不出来也能赚一点“同情分”. 于是即使解答出某题也没有获得解题经验,没解答出来更是心安理得.与数学启发思维、促人思考完全相悖.

3.2 形成分类依据,过程先易后难

在解答过程中,会遇到分类讨论的问题,讨论时一定要先明确分类依据. 分类依据是依赖于我们对基本初等函数及其性质的掌握. 因题而异,因题而变,只有确定了分类依据才能够条分缕析,不重不漏. 体现数学思维的缜密性与逻辑推理的严谨性.

3.3 注重总结共性,引导关注个性

高中阶段介绍的基本初等函数往往研究的都比较细致,会把它们的性质总结出来. 教师在新课教学时不能简单的把结论告诉学生,会让学生产生“千篇一律”之感. 总结时除了必然要研究的定义域、值域、单调性、奇偶性等,还要在探究函数的全过程中引导学生发现函数的个性. 比如过定点、有界性等. 有时候就是某一个问题解决的关键性“显然”.