2021 年冬季美国数学竞赛(AMC12A)的试题与解答

华南师范大学数学科学学院(510631) 李湖南

图1

(A) 160 (B) 164 (C) 166 (D) 170 (E) 174

解 依题意,可得∠FDE=360°-90°-110°=160°,从而∠DFE=∠DEF=10°,故∠AFE=170°,(D)正确.7. 一个学校有100 个学生和5 个老师. 在第一个阶段,每个学生只上一门课,每个老师也只教一门课. 所有课程的注册人数分别是50,20,20,5,5. 令t是随机选择一个老师,他所教课程的注册人数的平均值,s是随机选择一个学生,他所学课程的注册人数(包括他自己)的平均值. 则t-s是多少?

图2

图3

图4

16. 某机关有30 名员工,其中20 名员工使用A型电脑,剩下10 名员工使用B型电脑. 为安全起见,两台电脑之间只能使用缆线连接,且缆线仅可以连接一台A 型电脑和一台B型电脑. 员工可以彼此交流,如果他们的电脑使用一条缆线连接着或者通过一系列连接的电脑传送信息. 最初的时候,所有电脑两两之间均未连接. 技术员任意选择每个型号的电脑各一台并安装缆线,如果那两台电脑尚未连接. 一旦每个员工都可以与其他员工交流,技术员就停止安装. 问最多可能使用了多少条缆线？

(A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 195 (E) 196

解 如果20 台A型电脑与10 台B型电脑均有缆线连接,则有200 条缆线. 原问题等价于最少断开几条缆线将导致员工之间不能随意交流. 很明显,如果连接一台指定的A型电脑(比如A1)的10 条缆线都断开,那么A1 将不能与任何其他员工交流. 此时,还有190 条缆线连接着,只需再任意安装1 条缆线,就能确保交流通畅. 故最多可能使用了191条缆线,(B)正确.

17. 有多少有序正整数对(b,c)使得方程x2+bx+c=0和x2+cx+b=0 都没有两个不相等的实数根?

图5

22. 阿扎尔和卡尔玩一字棋. 在3×3 的格子中,阿扎尔先放一个X 在其中一个格子里,接着卡尔在其余格子里放一个O,然后阿扎尔又在其余格子里再放一个X,如此继续,直到9 个格子全满了,或者其中一个人先在一行、一列或一条对角线上放了3 个同样的X 或O,这时候这个人就赢了. 假设两个人每一步都是随机下,而不是根据理性的策略,且卡尔放了第三个O 就赢了. 则游戏结束时的局面有多少种可能?

(A) 36 (B) 112 (C) 120 (D) 148 (E) 160

图6

图7

23. 一个首项系数为1 的二次实系数多项式p(x)称作无礼的(disrespectful),如果方程p(p(x)) = 0 恰好有三个实根. 在所有无礼多项式中,存在唯一一个多项式˜p(x)使得其三根之和最大,则˜p(1)是多少?

解 设BC=x,CD=y,DA=z,则x,y,z,18 在某种顺序下构成等差数列.若公差为0, 则x=y=z= 18, 此时ABCD是一个菱形,a= 18, 符合要求;若公差不为0, 则x,y,z互异且均小于18, 此时ABCD构成一个梯形. 如图8 示, 过点D作DE//CB交AB于点E, 则BCDE是一个平行四边形. 在ΔADE中, 由余弦定理, 可得DE2=AD2+AE2- 2AD · AEcosA,即x2=z2+(18-y)2-z ·(18-y), 化简得x2+81 =(z-9)2+(y-18)2+yz,分情况讨论:

图8

(1)公差为1:x,y,z ∈{17,16,15},无解; (2)公差为2:x,y,z ∈{16,14,12}, 有一组解x= 14,y= 12,z= 16;(3) 公差为3:x,y,z ∈ {15,12,9}, 无解; (4) 公差为4:x,y,z ∈{14,10,6},无解;(5)公差为5:x,y,z ∈{13,8,3},有一组解x= 13,y= 3,z= 8;显然,公差不可能大于等于6.

因此,a的所有可能值为3,8,13,12,14,16,18, 其和是84. 故(E)正确.

25. 设m≥5 是个奇数,且m|(a1+a2+a3+a4),其中ai为互异整数且1 ≤ai≤m,i= 1,2,3,4. 令D(m)表示这样的四元数组(a1,a2,a3,a4)的个数,则存在一个多项式q(x) =c3x3+c2x2+c1x+c0使得D(m) =q(m)对所有的奇数m≥5 成立. 问c1是多少?

(A)-6 (B)-1 (C) 4 (D) 6 (E) 11

解 先考虑ai为互异整数且1 ≤ai≤m,i= 1,2,3,4的四元数组(a1,a2,a3,a4),共有m(m-1)(m-2)(m-3)个.