极值点偏移问题的基本题型及常见变式——兼谈解题教学策略

福建省漳州龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

极值点偏移问题是导数压轴试题中较为热点的问题,经常出现在各类高三综合卷当中,高考对此类试题也有所有考查,如2016 年全国I 卷,2021 年全国卷. 此类试题既能够较好地考查学生对基础知识的掌握程度,又能检测出考生是否具备较好的数学运算及推理论证能力.

一. 极值点偏移问题的基本题型

二. 极值点偏移问题的基本求解策略

以x1+x2＞2x0为例. 要证x1+x2＞2x0等价于证x1＞2x0-x2(或者x2＞2x0-x1),结合f(x)的单调性,构造函数g(x)=f(x)-f(2x0-x)解决问题,要特别注意变量的取值范围. 显然,极值点偏移问题实际上是函数单调性的应用,是函数思想的体现.

三. 极值点偏移问题的常见变式

不少极值点偏移问题为了增加试题的难度,进行了较好的“伪装”. 条件不会直接给出等式f(x1) =f(x2),待证结论也不是x1+x2＞(或者＜)2x0. 条件是含x1,x2的某个等式,待证的是含x1,x2的某一个不等式. 求解策略仍然是由题目条件得到f(x1)=f(x2),先证明x1+x2＞(或者＜)2x0,再结合不等式的性质证明出该不等式.

四. 教学反思

不难看出,此类极值点偏移问题的本质是函数问题,解决的基本方法是构造函数g(x) =f(x)-f(2x0-x),体现了函数单调性的应用. 从这个意义上来讲,我们可以更加深刻地体会到函数与导数的内在联系. 事实上,解决此类极值点偏移问题,还有很多方法,比如对数平均不等式法,比值换元法等等,但是都带有一定的技巧性,更不能体现出试题的函数本质. 然而,在现实教学中,很多学生甚至教师却一味地追求解题的快,新,忽略了最本质,最基本的方法,这不能不引起我们足够的反思与重视.

因此在教学过程中, 教师务必讲清楚知识的来龙去脉,前后联系,从而让学生形成完善的认知结构,构建起完整的知识关联体系. 反之,如果教师一味地追求解题技巧,当学生碰到类似的题目时,就无法解决问题. 比如对于以下试题,虽然不属于极值点偏移问题,但是所用方法与解决极值点偏移类似. 如果学生能够掌握好了解决极值点偏移问题的本质解法,就可以独立完成解答.

例4 已知函数f(x)=lnx-ax.

(1)若f(x)存在极值,求实数a的取值范围.

(2)若a= 1,且f(x1) =f(x2),其中0＜x1＜x2,求证:x1+x2+x1x2＞3.