两种群竞争系统离散等级结构模型分析

谷思源，何泽荣

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

许多不同种类的生物种群内部的个体之间存在等级或地位差异，这种差异对个体的生命参数产生重要影响，进而影响群体演化[1]。实践中得到的观测数据大都是离散的，用离散模型来预测种群演化趋势较为便捷。文献[2]通过对单一种群规模标量方程的细致分析发现，其内部的抢夺竞争和对抗竞争关于平衡态水平和恢复弹性各有优劣。文献[3]中的建模只考虑高等级个体影响，对模型的动力学性质进行了较为完整的分析，包括稳定性、持续性和周期解。与之相对，文献[4]仅考虑低等级个体影响，分析了模型解的非负有界性、正平衡态的存在唯一性，给出了零平衡态的稳定条件。文献[5]和文献[6]则分别研究了文献[3]和文献[4]中种群系统的能控性与最优收获问题，提出了一些具体的最优收获策略。上述工作都是针对单一种群来建立模型，而现实情况往往是多个种群共存于某一环境中。因此，本文提出一类两种群相互竞争资源的离散等级结构模型，研究模型解的非负有界性、非负平衡态的存在性与稳定性，并运用模型参数给出方便检验的判别条件。

1 种群系统模型

就新生个体而言，假设每一种群个体的繁殖率都随系统内同一等级和更高等级个体数量之和减小，其余等级的个体演化方程与文献[3-6]相同，建立如下两种群竞争系统的非线性等级模型：

(1)

式中，xi(k),yi(k)分别表示两种群在第k时间段等级为i的个体数量(i=1,2,…,m,m≥2,k≥0)；

aij,bij分别表示两种群中等级为j的个体经过一个单位时间段后等级变为i的概率(0

2 解的非负有界性

3 正平衡态的存在性

证明考虑如下定义的函数，其中x,y>0

若R0≤1，则f(x,y)

4 零平衡态的稳定性

定理4当R0,K0<1时，模型(1)的零平衡态渐近稳定；当R0>1或K0>1时，零平衡态不稳定。

根据文献[7]中的Perron-Frobenius定理知，矩阵A,B都存在一个占优的特征值，分别设为λA,λB，均对应于正特征向量，对矩阵A的所有其它特征值λ1满足λA>|λ1|，对矩阵B的所有其它特征值λ2满足λB>|λ2|。矩阵A的特征多项式为：

设λA对应的特征向量为(α1,α2,…,αm)>0，则下列等式成立

由于所有的aij>0，由方程组(3)中第i(i=1,…,m)式可以得到λA>aii。由λA是矩阵A的特征值，知p(λA)=0，即

当λA≤1时，λA-aii≤1-aii，则

从而，当R0>1时，有λA>1；类似可得到:当R0<1时，λA<1；K0与λB有类似关系。

J(0)的特征多项式为|λE-J(0)|=|λE-A||λE-B|,所以矩阵J(0)的特征值必为矩阵A,B的特征值。当R0<1,K0<1时，有λA<1且λB<1，模型(1)的零平衡态渐近稳定；当R0>1或者K0>1时，矩阵A或矩阵B有模大于1的特征值，因而模型(1)的零平衡态不稳定。证毕。

下面给出一个全局稳定性结果。

定理5若a1iβ+aii+ai+1,i<1,a1mβ+amm<1,b1iγ+bii+bi+1,i<1,b1mγ+bmm<1,i=2,3,…,m-1，则模型(1)的零平衡态全局渐近稳定。

(a1mβ+amm-1)|xm(n)|+(b11+b21-1)|y1(n)|+

5 结束语

本文针对两种群竞争系统建立了离散等级结构模型，它是一类高维非线性差分方程组。与单种群离散等级结构模型比较，本文所建立的模型要复杂得多，研究结果表明：基本再生数仍然是制约种群演化发展的关键指标；当2个种群的基本再生数小于1时，过低的种群规模将导致两种群灭绝。本文的研究结果对于预测2个共存又相互竞争的种群(如草原上的的鹿和羚)的演化具有潜在价值。本文只分析了正平衡态的存在性，下一步将针对正平衡态的稳定性展开深入研究。