2022年新高考Ⅰ卷第21题的多角度探究

栾 功

(南宁市第三中学，广西 南宁 530021)

1 真题呈现

1)求l的斜率；

(2022年全国数学新高考Ⅰ卷第21题)

分析试题第1)小题以双曲线标准方程为起点，设计了以圆锥曲线共轭弦性质为背景的定值问题，考查考生运用坐标法解决解析几何问题的能力，突出对数学运算素养的考查.试题第2)小题的命制基于第1)小题的解答，在确定条件下求解三角形面积.下面主要探究第1)小题的解法与内在规律.

2 背景溯源

以圆锥曲线共轭弦性质为背景命题，考查考生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，在近几年各类数学竞赛卷和高考卷中多次呈现.

1)求椭圆的标准方程；

2)若k1+k2=0，求实数k的值.

(2016年浙江省高中数学竞赛预赛试题第17题)

(2004年北京市数学高考理科试题第17题)

3 例1第1)小题的解法分析

解法1将点A(2,1)代入双曲线C的方程，得

解得a2=2，故双曲线C的方程为

kAP+kAQ=0,

从而

即

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0，

代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，整理得

2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.

(1)

(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0，

其中

1-2k2≠0，Δ=m2+1-2k2>0，

从而

代入式(1),得

整理得

2k2+km+k+m-1=0，

即

(k+1)(2k+m-1)=0.

因为直线l不过点A，所以

2k+m-1≠0，

从而

k+1=0，

即

k=-1.

评注该解法从直线入手构图设参，通过对“直线AP，AQ的斜率之和为0”这一给定关系的坐标表达，自然联系到运用韦达定理解题，这是解答这类问题的通法.解法1的难点在于消参过程的数学运算，对考生的运算素养要求较高.

解法2将点A(2,1)代入双曲线C的方程，得

解得a2=2，故双曲线C的方程为

设直线AP的斜率为k，则直线AQ的斜率为-k，直线AP的方程为

y-1=k(x-2).

(x-2)[(1-2k2)x+4k2-4k+2]=0.

由于xA=2，得

同理可得

从而

评注该解法从过点A的两条直线AP,AQ入手，构图设参，借助点A的坐标表达点P,Q的坐标，从而求出直线l的斜率，属于典型的知一求一.运算过程结合直线AP,AQ的同构性，很大程度上优化了运算，降低了运算难度.

解法3将点A(2,1)代入双曲线C的方程，得

解得a2=2，故双曲线C的方程为

设直线AP,AQ的倾斜角分别为α,β，由题意知

α+β=π， sinβ=sinα， cosβ=-cosα，

(3cos2α-2)t2+4(cosα-sinα)t=0,

则

由直线AP与AQ逻辑结构的对称性，同理可得

评注该解法从直线AP,AQ的倾斜角入手，应用直线的参数方程解题.几何关系代数化的过程紧紧抓住直线AP,AQ逻辑结构的对称性，利用同构思想和三角恒等变换进行坐标运算，结构整齐，过程简洁明了.该解法不仅体现了参数法在解答解析几何问题中的重要作用，同时还开阔了学生的解题视野.

解法4将点A(2,1)代入双曲线C的方程，得

解得a2=2，故双曲线C的方程为

整理得

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

(2)

设直线l′的方程为

px′+qy′=1，

代入式(2)，得

x′2-2y′2+4(x′-y′)(px′+qy′)=0，

即

(1+4p)x′2-(2+4q)y′2+4(q-p)x′y′=0，

两边同时除以x′2，得

(3)

由于平移变换后点A的坐标变为A′(0,0)，故kA′P′，kA′Q′是方程(3)的两个根，从而

即

解法5设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则双曲线C的方程可化为

即

从而

由kAP+kAQ=0，得

分别整理，得

2y1y2+2y1-2y2+x1x2+2x1-2x2-6=0,

2y1y2-2y1+2y2+x1x2-2x1+2x2-6=0,

两式相减，得

4(y1-y2)+4(x1-x2)=0，

即

评注该解法源于对教材习题的理解，把双曲线的标准方程改写为第三定义的形式.在求解这类问题时收获意想不到的效果，整齐的式子、对称的结构、整体运算的奇效无不彰显坐标法的神秘与魅力.

上述5种解法从不同侧面阐释了直线l在运动过程中保持的规律性，即当直线AP与AQ斜率之和为定值0时，直线PQ的斜率为定值-1；同时，也给了我们继续深入探究试题本质的启发与思考.

4 推广探究

思考1当直线AP，AQ的斜率之和为0时，直线PQ的斜率为定值-1，这个定值与点A有关吗？

图1

由解法1知，直线PQ的斜率为定值-1，在直线PQ运动过程中的临界位置与双曲线C相切(如图1).当k=-1时，由Δ=0，得m=±1，此时直线PQ的方程为y=-x+1,y=-x-1，分别与双曲线C在点A(2,1)处的切线y=x-1关于x轴、y轴对称，发现直线PQ的斜率与双曲线在点A(2,1)处的切线的斜率互为相反数.也就是说当双曲线给定时点A的位置唯一确定了PQ的斜率，反过来PQ的斜率也唯一确定点A的坐标.

思考2试题中的双曲线改变为椭圆或抛物线，是否还有相同规律？

(4)

设直线l′的方程为px′+qy′=1,代入式(4)得

两边同时除以x′2,得

(5)

由于平移变换后点A的坐标变为A′(0,0)，故kA′P′，kA′Q′是方程(5)的两个根，从而

即

于是

变式2已知抛物线C:y2=4x上一点A(4,4)，不经过点A的直线l与C交于点P,Q，若直线AP,AQ的斜率之和为0，证明：直线l的斜率为定值.

y2-4my-4n=0，

从而

Δ=16m2+16n>0，y1+y2=4m.

因为直线AP,AQ的斜率之和为0，所以

即

y1+y2+8=0，

解得

y1+y2=-8，

于是

m=-2，

通过变式1和变式2的探究，我们发现推广1体现的规律在椭圆和抛物线中仍然成立，于是例1所揭示的本质规律可进一步推广到更一般性的情形.

推广2设点A(x0,y0)是对称轴平行于坐标轴的定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上一定点，P,Q是C上两个动点，若直线AP,AQ的斜率互为相反数，则当直线PQ的斜率存在时为定值，等于曲线C在点A处切线的斜率的相反数(当曲线C为双曲线时，点P,Q在同支上).

1)当曲线C是有心圆锥曲线时，设方程的统一形式为

λx2+μy2=1(其中λμ≠1)，

则

2)当曲线C是抛物线时，可设C:y2=2px或x2=2py(其中p≠0)，则

5 结束语

通过上述解法分析与变式探究，例1揭示的内在规律逐步清晰，同时，也不难看出例1第1)小题的问题设置在以往考试中都是第2)小题的难度.新高考压轴题明显减少了送分问题的设置，旨在考查考生解决问题的关键能力和具备的学科素养，力求更精准地服务高校人才选拔，这也给我们的教学提出了更高的要求.