反证法在小学数学解题教学中的应用研究

◎朱翠珍

(甘肃省庄浪县第一小学，甘肃 平凉 744600)

素质教育是现代教育改革的主旋律小学教育已经不是单纯的启蒙行为政府、学校以及家长都希望在小学阶段能够重点关注学生能力的培养，并从多方面凭借先进的教学方式促进学生的全面发展教师在开展教学活动时，要针对不同情况运用不同的教学方式教师在对学生讲述解题方式时，不要拘泥于方法的讲解，要注重培养学生解题的能力“授人以鱼，不如授人以渔”，能力的发展是学生成长的基础本文针对反证法在小学数学教学过程中对培养学生能力的价值体现进行研究

一、反证法的概念

反证法是指间接证明法的一种，是从反方向证明的证明方法，即肯定题设而否定结论，通过结论逆向推理出矛盾，从而证明原命题具体来讲，反证是从反论题下手，把命题结果作为否定条件，让其与条件产生矛盾，进而证明命题成立利用反证法解题时，必须用到“反设”，不然就无法构成反证法运用反证法解题时，依据反设情况，寻找合理的矛盾点并对其进行反驳，这就是“归谬法”；想要证明的命题存在多种情况，那就一一证明它们无法成立，这就是“穷举法”反证法在数学中是最常用的方法当解题无法在正面进行时，就可以利用反证法，此谓“正难则反”

二、反证法的原理

逆否命题与原命题的真假性相同，这是反证法的逻辑原理原命题的肯定结果与原命题的否定结果必然是对立的现象例如，原命题的肯定结果为真，那么原命题的否定结果就是不成立的；反之，原命题的肯定结果不成立，那么原命题的否定结果一定为真这里我们要特别注意，否命题和命题的否定结果是截然不同的两个概念命题的否定结果只是关于原命题的结果做出否定证明，而否命题的存在是同时否定条件与结果，我们对此要有清晰的认识

三、利用反证法解题时的注意事项

(一)反证法需要正确运用

结果的正确否定才是反证法解题的基础条件，否则命题无法成立数学问题的分析要清晰地掌握题型结构，掌握题干信息，从而合理地运用反证法进行解题，通过命题结果的否定来证明命题结果成立，这样可有效将难度较大的问题进行简化解决要想否定原命题的结果，那么在逻辑推理的开展中就要及时地发现问题与矛盾，并且主动创造矛盾反证法不仅是常规的解题方式之一，还能给正面解决问题遇到困难时，提供另一种解题思路，这样可培养学生反向思维能力，有助于提高学生的数学综合能力

(二)反证法的核心要点

运用反证法，必须清晰掌握反证法的核心内容：否定命题的结果，并在证明的过程中创造矛盾在解题过程中，矛盾会如何出现，以及出现什么样的矛盾，都体现了矛盾的不准确性我们在应用反证法的过程中，保证假设成立，推理过程严谨且有依据，必然会找到矛盾教师在结合反证法实施数学教学的过程中，要重视“假设条件”在问题当中的应用，引导学生通过对逻辑关系的推理来掌握数学证明方法在现代数学教学活动中，反证法在解题、教学中的应用极为常见

(三)矛盾的几种形式

利用反证法解题时，不是只能寻找题干设置的矛盾矛盾可以多种多样的形式展现，有的是题干或者部分内容制造的矛盾；有的是与真命题产生矛盾，即肉眼可见的逻辑错误，如“有四条边的图形一定是个正方形”，便可以通过逻辑关系及“一定”等有关概念进行分析；还有的与临时开展的假设产生矛盾，如对证明类问题的分析、归纳这类问题以求解、证明为主要任务，但题干具有更为明显的混淆性特点，学生未必能够快速解决相关数学问题此外，还有与已知条件产生矛盾，这类矛盾只要按照题目的逻辑关系进行逆向推理即可，证明难度并不大

四、小学数学中反证法的应用

(一)反证法在小学教学中的优势体现

反证法是反向思维的一种论证法这种解题思路从命题的题设出发，找出矛盾，证明命题成立反证法的特点是思维灵活，简单直接很多初学者对这种逆向思维感到不适应，无法熟练运用，有的甚至认为反证法加大了解题难度客观来讲，反证法在数学解题方式中具有很高的地位，其不仅是一种简单、有效的解题方法，还能促进学生在解题过程中有更多的收获面对很多难以解决的数学题，学生可以尝试运用反证法在生活中，反证法也能为我们提供帮助我们可以将很多生活难题当作数学题，将困难反过来思考，可能会有意想不到的收获，从而顺利解决生活困难反证法的运用场景极其广泛，数学学科的大部分内容都可以运用反证法来解决，而数学之外的学科，反证法也能给予极大的助力

反证法的灵便性得到很多数学家的认可，由此可知反证法的应用价值是极其高的从学生的学习表现来看，反证法借由提出相反的结论来帮助学生认识数学知识，在要求学生“逆向证明”的同时提出数学学习问题比如，已知有0～5 六个数字随机排列，在每个数字的排列都不重复的情况下，其中出现的最大数一定是543210从数学结论上来看，这一观点似乎正确但教师结合反证法可以让学生重新认识数学知识每个数字只有使用一次的机会，但可以通过“乘方”的方式来重新表示相关数字，如51320对于学生来说，这类数学知识是新奇且陌生的教师不必在相关数学结论上下功夫，只要帮助学生掌握数学概念与反证法的应用技巧即可教师借用反证法来培养学生的推理能力，有利于开拓学生的眼界，开发学生的思维方式

(二)从实际出发巧妙运用反证法

小学数学的教学目标是以培养学生能力为主要目的，以锻炼思维方式为基础任务，通过解题时的技巧运用、思路转变，提升学习兴趣教师应教导学生在面对困难时不能轻言放弃，要坚持不懈，迎难而上，加强学生的信心，使学生发现实际问题并没有想象中那么难在解题过程中，解题思路是关键教师应引导学生从实际情况出发，将反证法渗透到问题本身，促使问题发生变化，从而在研究探索后，总结经验，形成有效的思维方式教师在日常教学中不能刻板，开展教学活动的时候要多渗透有关逻辑思维的培养，把数学的趣味性、娱乐性呈现给学生，让学生发现数学是一种游戏，学习数学是充满乐趣的事

教师在利用反证法实施数学教学工作的过程中，可尝试结合客观生活实践与数学知识帮助学生应用相关数学方法，创新数学教学模式比如，现在有6条直线，这6条直线最多只能组成两个图形，且这两个图形一定是三角形利用反证法，我们可从相反的角度进行证明：只要证明6条直线组成的图形不仅仅包含三角形或图形的数量超过或不足2个，便可以证明以上数学结论不正确在拼接图形之后，学生可通过几何实践活动完成教学任务：用4根木棒制作一个正方形，在正方形中加入两根长度相同的木棒，通过设计平行线、对角线的方式重新归纳数学问题配合数学实践，学生重新认识数学知识：这样的分割能够将一个正方形分割为3个长方形，或者4个三角形，由此证明有关结论是错误的先假设自己的结论成立，随后按照自己提出的假设进行数学证明，能够帮助学生快速掌握数学知识

(三)反证法运用的流程

“反设”“归谬”“结论”这三步组成了反证法的主要流程，彼此联系，共同组成了完整的反证法反设是应用反证法解题的基础，它的正确性保证了命题结论的准确性解题前，我们需要对题干内容、相关条件、命题结论等主要因素进行全面了解与细致调查，保证在解题过程中找到矛盾，对命题结论进行证明，得出命题结论的肯定或者否定结果，这整个过程就是“反设”归谬是指根据反设创造命题结论的矛盾，是运用反证法的重要步骤之一归谬是在解题过程中，确定了反设条件，得到了结论内容之后，开展的解题过程结论是反证法的最后一步，其是在这个环境中产生的结论，不是命题产生了新的结论，只是解题过程中依据反设创造出来的矛盾总结出来的结论反证法的三个步骤里，反设与结论中创造出来的矛盾才是运用反证法的关键所在

(四)教学实例

反证法是针对数学问题在正面无法得到解答的情况下的另一种有效的解题思路主要表现为以下几种情况．

1题干内容中条件过少，没有合适的数学公式，无法有效推论出结果，可以采用反证法进行证明，从而得出准确的结论比如，25个小朋友参加游戏，将他们分成6个队伍，总有一个队伍里有5个小朋友对此进行分析：共25个小朋友，如果每队由5个小朋友组成，那么他们无法分成6个队伍如果每队由4个小朋友组成，那么可以组成6个队伍，还余出1个小朋友未加入任意队伍结论得以证明：总有一个队伍里有5个小朋友教师在帮助学生解答这类数学问题的过程中，要从相反的角度引导学生进行思考：假设原有的结论不成立，每个小组都能够安排5个小朋友，或者没有任何小组达到5个小朋友，借由两个假设结论，让学生找到问题的矛盾点

2很多无法进行正面证明的题目，皆以反证法进行处理：明确假设条件，创造矛盾，开展命题论证比如，三角形中，三个内角中有一个内角明确是钝角，必然其他两个内角是锐角对此进行分析：三角形的三个内角和是180°，90°<钝角的角度<180°，如果其余两个角中有一个是直角，那么另一个是锐角，0<锐角<90°，钝角+直角>180°无法满足三角形三个内角和是180°，产生矛盾，假设不成立如果其他两个内角相加等于90°，与三角形明确的钝角相矛盾，假设不成立因此，三角形两个内角与钝角相加为180°，并且两个内角和<90°，该证明成立应用反证法进行解题的第二种有效方法如下：假设原结论成立，按照题目中的思路进行数学计算，当题目中的结论无法被证明时，则证明相关描述错误对于“三角形中，三个内角中有一个内角明确是钝角，必然其他两个内角是锐角”也可以通过反证法引入逆向思维来进行快速证明：假设钝角三角形中存在两个钝角，则每个钝角都大于90°，两个钝角相加大于180°，这一假设明显不成立从不同的角度进行逆推也可以有效应用反证法

3小学数学教学中的重点与难点是逻辑推理，它是小学数学常考查的素质，也是学生未来工作与学习中的主要关键能力比如，教师奖励表现优秀的三个小朋友一些糖果，一共有9块糖果，分别发给小明、小亮与小婷若小明比小亮多4块，小婷比小明少2块，小婷比小亮多2块，则小婷肯定有3块糖果分析得出：小婷有3块糖果，如果小亮和小明也有3块糖果，符合一共9块糖果，但是与小婷比小明少2块，比小亮多2块条件矛盾，假设不成立如果小亮有1块，小明有5块，符合一共9块糖果，也符合小婷比小明少2块，比小亮多2块糖果的条件，假设成立，因此小婷肯定有3块糖果

4通过直观假设应用反证法反证法的最大教学优势便在于直观，其省略了数学学习过程，允许学生以更为简单的方式来解决数学问题以“掷骰子”为例，玻璃杯下面有两个骰子，将其分别抛出，两个骰子的点数相同的可能性为50%从结论上来看，这一问题并不存在错误，但骰子上有6个不同点数，当掷出骰子时，点数相同的可能性仅为16教师可结合数学假设帮助学生分析相关问题：假设结论正确，则第一次抛出骰子点数为2，抛出第二个骰子时，点数只能为2或其他另外一个数字，不能出现新的数字组合，不然结论不成立用假设验证问题，有利于反证法的应用

五、结束语

结合以上论述，反证法在小学数学教学中存在重要意义反证法的特殊解题方式可以使学生在解题过程中有全新的视角．反证法可培养学生的逆向思维，让学生了解数学问题的多样变化以及不同的表达形式．针对不同题型与不同内容应用反证法，可有效锻炼学生反证法的运用技巧，总结丰富的学习经验教师在数学教学中培养学生的能力符合社会要求，因此应遵循教育改革的指导方针，注重学生的素质教育，促进学生能力得到有效提升，这有助于学生打好数学基础，从而满足其未来更高层次学习与生活的要求