以“圆周角”为例谈如何深挖分类讨论思想

◎于善光

(河北省唐山市丰南区教育教学研究与教师培训中心, 河北 唐山 063300)

分类讨论思想是初中数学教学的重点，教师应当充分挖掘教材中蕴含的分类讨论思想例如，初中数学“圆周角”章节中蕴含着丰富的分类讨论思想，本章是一个非常典型的案例，值得初中数学教师在教学中深入研究在圆周角定理证明中蕴含着分类讨论思想，如果只能看到这一个重点，说明教师对教材的理解比较肤浅其实，除了定理证明以外，在圆周角概念教学中至少蕴含四个分类讨论思想，由于教师对教材挖掘不深，这些分类讨论思想容易被忽略

首先，只有教师的深度备课，才有学生的深度学习，精准把握教材是有效教学的起点教师要对教材深入挖掘，弄清楚知识间的逻辑关系和纵向结构思想蕴含在知识中，离开知识而空谈思想和方法如无源之水、无本之木教师若想真正读懂教材，首先要弄清教材所包含的知识体系如图1所示，在圆的知识内容中，主要包括：与圆相关的线(弦、切线、割线)；与圆相关的角(弦夹角、圆心角、圆周角、弦切角、割线夹角、切线与割线夹角等等)；它们之间的位置和数量关系圆周角只是与圆相关的角中的一个特殊角，教师应钻研它与弦夹角、圆心角、割线夹角、割线与切线夹角有怎样的内在联系和本质区别，同时，站在专业的角度审视与分析教材

其次，“数学是思维的体操”，数学教学必须有思维含量，让学生在思考中经历知识的产生、形成、发展的过程，深入、深层地学习，而不是表面、肤浅地学习，让学生在活动中体验、在体验中学习、在学习中反思、在反思中运用，在运用中理解，在理解中升华挖掘教材是基础，设计学法是关键，构建问题串是重点，发展学生的核心素养是根本根据知识结构和思维逻辑构建一个问题串，由浅入深，层层递进，研究问题的过程就是学生学习和体验分类讨论思想的过程学习圆这部分知识，与以往学习的几何知识有显著区别以往学习的几何知识更多的是确定几何图形的位置关系以及数量关系，圆这部分知识更多关注研究位置关系，如点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等等这种位置关系的不确定性和多样性，本身就是分类讨论思想的直接体现圆这部分知识，在研究方法上更突出位置关系与数量关系的关联度，相互依赖、共生共存，更多应用分类讨论思想和方法发现问题、研究问题、解决问题这也是圆中为什么蕴含着丰富的分类讨论思想和方法主要原因教师要发现问题的本质，善于挖掘教材的思想价值，弄清教材所承载的知识性和思想性，更要深度挖掘每一节内容所蕴含的思维内容，充分体现知识的关联度

图1 圆的知识内容

一、突出新旧衔接点，前置学习，渗透分类讨论思想

数学课最显著的特点是知识之间衔接紧密、成体系、思维逻辑性强特别是新授课，让学生充分体会知识产生和思维发展的全过程至关重要但一节课的容量有限，让学生在有限的时间内充分体会数学知识和思维的完整性，是对教师的一个挑战，需要教师精心地设计教学内容目前，教师对翻转课堂情有独钟，常利用视频将学生容易学懂的内容放在课前学习，把更多的课堂时间用于深层学习其实，教师精心设计学习任务单也同样能够起到前置学习的目的，更具有实际效果教师可以设计以下形式的学习任务单，让学生在学习圆周角课前完成

“24.1.4 圆周角”学习任务单(一)在△ABC中(如图2所示)1.内角和定理:∠A +∠B+∠C=.2.外角定理:∠ACD=+.图2(二)利用三角形外角和定理证明(如图3①～③所示)1.如图①,已知∠COB是等腰△AOC顶角的一个外角,求证:∠COB=2∠A.2.变式训练:图形变换.(1)如图②,等腰△AOC和等腰△AOD沿公共腰AB所在的直线拼接在同一水平方向上,求证:∠COD=2∠CAD.(2)如图③,把图②中的等腰△AOC沿AB翻转180°,求证:∠COD=2∠CAD.图3(三)圆心角定理的应用(如图4所示)1.定义:顶点在的角叫圆心角.2.定理练习:如图④所示,在☉O中,AB、CD是两条弦,如果弧AB=弧CD,那么、;如果AB=CD,那么、;如果∠AOB=∠COD,那么、.图4(四)点P是☉O上任意一点,以P为顶点画角,思考:∠P的两边与☉O有几种不同的位置关系,分别画出来.

圆周角定理的证明是本节教学的难点，会占用学生大量的学习时间，但本章节是教学重点，必须让学生掌握定理的证明方法，深刻体会分类讨论思想另外，学生只利用课上时间很难完成学习任务，这样容易导致学生学习缺乏系统性和连贯性这时，作为前置学习的学习任务单作用得以体现在学习任务单中的第一题、第二题，使学生回顾了三角形外角定理及应用与此同时，第二题是圆周角定理证明的变式，这个练习承上启下，既是复习，也是铺垫，为圆周角定理的证明提供了知识和方法的储备，分解了课堂学习的难点，突出了重点；第三题，是对前一节圆心角的复习，同时也为用类比的方法学习圆周角定理推论埋下了伏笔；第四题，让学生通过自己动手，尝试和体会分类讨论思想，向学生渗透分类讨论思想，为学生学习分类讨论思想埋下了思维的种子

二、突显教学原点，初步感知，体会分类讨论思想

起点决定路径方向，教师整体把握教材，追根溯源，突显教学原点是成功的一半有了上面的教材分析，教学原点自然明了，从点与圆的位置关系入手教师在白板上画圆，给出问题：

1在平面上画一个圆，圆把平面分成几部分？第一次渗透分类讨论思想：圆把平面分成三部分，圆内、圆上、圆外问题看似简单，但很多同学存在错误认识，认为把平面分成圆内、圆外两部分，而忽视了圆上的情况所以，此问题的提出是完全有必要的，是第二问题的衔接

2平面上的点与圆有几种位置关系？第二次渗透分类讨论思想：点与圆有三种位置关系，点在圆内、圆上、圆外，因为点与圆存在三种位置关系，才能得到与圆不同位置关系的三种角

3以这些点为顶点作角，因为角的顶点位置不同，可以得到与圆位置不同的几种角？第三次渗透分类讨论思想：有三种角，顶点分别在圆内、圆上、圆外，不妨分别叫圆内角、圆上角、圆外角，这是与圆相关角的生发地，使学生认识这些角的外延

这三个问题是互相衔接、层层递进的，前者是后者的“出发点”，后者是前者的“生发点”师生互动，共同探讨，分别在白板上画出圆内角、圆上角、圆外角这一教学过程三次向学生渗透了分类讨论思想点与圆的位置关系是后面学习的内容，把这部分内容前置并渗透，是因为点与圆的三种位置关系决定了与圆有关的三种角，得到了三种角，也就找到了学习圆心角、圆周角、弦切角等角的源头首先，使学生初步感受了圆周角与圆心角的本质不同(顶点的位置不同)；其次，承上启下，为后面圆周角的概念教学做好了铺垫更重要的是，教师使学生感受了知识的来龙去脉、前因后果，知识更系统，逻辑关系更清晰，使前后知识融会贯通，顺理成章

三、突破教学生长点，深刻印象，感受分类讨论思想

寻找新旧知识的衔接点，使圆周角与圆心角无缝对接，即认清圆周角概念的内涵和外延，同时看清圆周角与圆心角的区别与联系，突破教学的生长点，成为画龙点睛之笔通过前面的学习，使学生了解到：由角的顶点与圆的位置不同，得到了与圆相关的三种角，教师再次给出问题：

1圆内角的两边与圆有怎样的位置关系？因为角的顶点在圆的内部，所以角的两边与圆的位置关系也是唯一确定的，圆内角的两边永远与圆相交同时，圆心角是特殊的圆内角，也就渗透了圆心角与圆周角的共同点——两边都与圆相交

2圆上角(圆外角暂不进行研究)的两边与圆有几种位置关系？这个问题是圆上角到圆周角的过渡与衔接，使学生认识圆周角的外延，同时，也是教学的生长点，揭示圆心角与圆周角概念的本质，由于角的顶点与圆的不同位置关系决定的两种不同的角

研究问题，学生通过自主探究，动手画、小组交流，互相补充，得到圆上角的两边与圆的三种不同的关系：①两边与圆都不相交；②一边与圆相交另一边与圆不相交；③两边与圆都相交让学生感受了三种圆上角及分类讨论思想，是上一环节的深入步骤在此基础上，教师在电子白板上进行动画演示，把一个圆上角绕其顶点旋转，让学生直观地感受三种圆上角及分类讨论思想，为圆心角与圆周角的对比打下基础有了前面的学习，教师指明研究方向：我们今天主要研究圆上角最特殊的情况，两边与圆都相交的圆上角，为了区别于其他两种情况，我们把它叫做——圆周角教师接下来的任务是引导学生研究圆周角的内涵，有了前面问题的研究，已经为概念的教学做好了铺垫，教师要给学生自我表达的机会，让学生尝试自己阐述定义；教师也要允许学生犯错，产生问题冲突，学生在教师引导与点拨下、同伴互助下不断修正自己的总结内容，不断提升与完善，进而完整总结圆周角的概念

四、突出教学核心点，提升认知，深化分类讨论思想.

本节内容核心知识是圆周角的定理及推论，核心问题是同弧所对的圆心角和圆周角的位置与数量关系学习完概念以后，教师让学生自己画出同弧所对的圆心角和圆周角，并引导学生分析弧所对的圆周角、圆周角的数量关系，通过动手画图让学生感知弧与圆心角一一对应关系及弧所对圆周角的不确定性

教师提出问题：一段弧对一个圆心角和多个圆周角，那么，同弧所对的圆心角与多个圆周角有几种位置关系？

学生通过动手绘图、小组合作、组际交流、研究探讨同弧所对的圆心角与圆周角的三种位置关系，这是本节课的核心问题，是前面问题的升华，也是分类讨论思想的最深刻的应用，是上一环节的提升然后，教师再次通过电子白板进行动画演示，通过移动圆周角的顶点，让学生直观地体会同弧所对的圆心角与圆周角的三种不同的位置关系，深化了分类讨论思想

以上内容首先研究了同弧所对圆心角与圆周角的位置关系，完成了第一阶段的内容研究位置关系后，教师引导学生研究同弧所对的圆心角与圆周角的数量关系教师再次提出：“学习圆心角时，我们主要学习了圆心角定理(等弧所对的圆周角相等)，我们已经学习了同弧所对的圆心角与圆周角有三种不同的位置关系，那么，同弧所对的圆周角之间、圆心角与圆周角之间是不是也存在着一定的数量关系呢？你能不能受圆心角定理的启发，进行大胆的猜想呢？”引导学生发现、探究圆周角定理及推论

这样的教学设计层次鲜明，衔接紧密，精心构建问题串，用问题引导知识点，使知识点一环紧扣一环；教学设计逻辑性强，由位置关系到数量关系，思维顺畅，循序渐进，逐步深化这样的设计能够先后五次让学生体会、感受与感悟分类讨论思想，也让学生充分经历了从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，使学生的学习活动具有丰富的思维含量，学习价值最大化