普通师范院校代数类课程设置改革探究

2022-08-11赵正俊陈文兵

池州学院学报 2022年3期

赵正俊，陈文兵

(安庆师范大学数理学院，安徽安庆 246133)

代数学是数学的重要分支之一。随着现代数学及科技的发展，尤其是20世纪以来，诸多重要数学猜想的解决(如Fermat大定理、Mordell猜想等)与计算机技术的发展，代数学在理论及应用领域的重要性日益凸显。我国高校数学专业代数课程设置及内容形成于20世纪50年代，普通院校数学专业“重分析、轻代数”的状况虽然受到许多高校相关任课教师的关注，但是受限于体制、师资及教材等因素，代数类课程设置的问题与核心代数及几何课程缺失的现状仍然没有得到缓解。正如著名数论学家冯克勤教授所说[4]，高校的几何与代数教学应该加强，这是必须予以重视的问题。通过分析高校代数类课程设置的现状，结合笔者多年代数类课程教学的体会与部分高校对代数类课程设置改革的措施及成效，谈谈对普通师范院校代数类课程设置的看法，供同行交流参考。

1 代数类课程设置存在的问题

代数作为数学的三大分支之一，包括初等代数和抽象代数，以研究代数方程为中心，其特点是具有高度的抽象性。国内师范院校数学专业代数类课程主要包括“初等数论”“高等代数”及“近世代数”。根据笔者多年教授代数类课程的经验及与兄弟院校相关课程任课老师的交流情况，目前普通师范院校代数类课程设置存在以下几个问题。

1.1 课程内容衔接的问题

“高等代数”一直是高校数学专业重视的核心基础课，多数学校在大学一年级开设两个学期，每周5-7学时，部分学校会单独开设习题课。“高等代数”的基本内容包括线性空间和矩阵理论，对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。普通高校数学专业的学生对于该门课程的学习感到吃力，考试及格率低于同期开设的其他课程。学生对该门课程的总体印象是抽象，多数学生不能理解线性空间与线性变换的定义，更谈不上领会该门课程的精髓。

目前，多数高校采用北京大学于上世纪70年代末编写的“高等代数”作为该门课程的教材。这是一部经典教材，其他教材基本都以这本书作为蓝本。在内容安排上，首先讲解多项式理论，然后围绕线性方程组这个中心课题，逐步引入行列式、矩阵、线性空间与线性变换、二次型及欧式空间。相对“高等代数”，高度抽象的“近世代数”更加使得学生焦头烂额。“近世代数”主要讲授群、环及域的基本知识，多数高校选择在大学二年级开设。虽然“高等代数”中多项式、矩阵及线性空间与线性变换为“近世代数”中相关概念提供了实例，但学生依然不能很好地理解“近世代数”中的相关定义与结论，从“高等代数”到“近世代数”的过渡并不自然。“初等数论”主要讲授整数的相关理论，内容大致包括整数的整除、同余、二次剩余、原根及指数与不定方程等。多数高校选择将该门课程作为选修课在大三开设。同样，“初等数论”也为“近世代数”中相关概念提供了很好的实例。同时，整数的整除理论与多项式的整除理论在环论的意义下又有某种重合。因此，在以“高等代数”“近世代数”“初等数论”开课次序的前提下，授课内容存在一定程度的交叉与重合。事实上，“近世代数”的思想方法渗透在“初等数论”与“高等代数”中，处理好这三门课程的内容安排对于代数学习尤为关键。

1.2 代数类课程缺失的问题

相对于分析类课程，普通师范院校数学专业代数类课程显得较为单薄。一些在重点高校开设的“抽象代数”“交换代数”“同调代数”“群与代数表示”“代数数论”与“代数几何”等代数类课程，普通高校没有作为选修课程开设，原因是多方面的，学生基础、师资、师范教育类课程的安排等。这些代数类后续课程不仅是将来从事代数研究的学生的基础课程，对逻辑思维能力与数学品味及修养的提高也具有重要意义。普通师范类院校不仅要培养合格的中小学教师，也肩负了培养从事科学研究人才的重任。为有意愿从事代数研究的学生开设代数后续课程是有必要的。

进入新世纪以来，众多高校数学系开设了信息与计算科学专业，培养具有扎实数学基础的从事与计算机相关工作的人才。然而，一些高校不再为信息与计算科学专业开设“近世代数”与“初等数论”，甚至淡化“高等代数”。而在一些普通师范院校，数学与应用数学专业也不再开设“初等数论”。笔者所在师范高校，“初等数论”仅作为选修课程，教务部门规定，选课人数不足30人不开课。“初等数论”经常与数学竞赛联系在一起，对于以培养优秀中小学数学教师为目标的师范院校，掌握初等数论的相关知识和技巧是有必要的。

1.3 课时压缩的问题

近年来，随着高校培养方案中实践及思政课时的不断增加，一些重要的专业基础课程的课时不断被压缩。“近世代数”在一些高校的课时由周4减为周3，“初等数论”以每周2学时作为选修课开设。“近世代数”的群论中，除了同态基本定理，群在集合上的作用对群的研究至关重要，简单介绍群作用及其应用是有必要的。但是，在总课时为51的前提下，很难讲透这些重要内容，只能流于表面地介绍群环域的基本定义与结论。总课时为34的“初等数论”，只能简单介绍整数整除、同余及二次剩余与二次互反律的基本结果，而其中与有限群结构关系密切的原根及指数、不定方程等只能舍弃。

2 部分高校代数类课程设置改革措施

21世纪以来，高校代数类课程设置与教学内容的改革一直被广泛关注。国内众多代数学家和从事代数教学研究的人员对代数类课程设置改革作了诸多研究和实践。著名数论学家冯克勤先生对代数类课程设置有独到的见解[4]和丰硕的实践成果。自1977年开始，在冯先生的领导下，中国科学技术大学数学系在一年级第一学期开设“初等数论”，并和余红兵教授编写了教材“整数和多项式”，将整数与多项式的整除、因式分解等理论纳入同一范畴，其中渗透了近世代数的思想，从主理想整环的角度统一讲授整数与多项式。2011年以来，在欧阳毅教授的领导下，中国科学技术大学数学院对代数类课程设置及教学内容作了重大改革，将“初等数论”“解析几何”“高等代数”“近世代数”“抽象代数”等代数类课程教学内容作了优化，出台了“代数系列课程纲要”，并编写了代数学系列教材。科大对代数课程设置及内容改革的成果获得了安徽省教学成果奖。正如欧阳毅教授所说[1]，受老一辈数学家指导和影响，科大的代数教学一直维持在很高的水平，培养了许多著名的代数学家。2000年之后，冯先生调入清华大学数学系担任系主任。自2001年起，清华数学系也在大学一年级为新生开设“初等数论”，并以专题讨论的形式为有志于从事代数与数论研究的学生开设相关代数类课程。在以构建和实施本科人才培养体系为核心的“三三制”本科教学改革的背景下，南京大学数学系对“高等代数”课程的内容进行了调整，与科大和清华的做法类似，也是同时讲授整数与多项式的整除理论。早在20世纪90年代，华中师范大学就尝试对代数类课程设置进行改革[5]，将“高等代数”“解析几何”“近世代数”与“范畴论”四门课作为一个整体，以代数结构为主线统一四门课程。

在学生基础与师资条件较好的前提下，科大等重点高校对代数类课程的设置是合理有成效的。以“初等数论”“高等代数”与“解析几何”“近世代数”这样的顺序开课，可以做到与中学课程衔接、与后续课程衔接、与数学研究衔接。受限于师资条件与学生基础，普通师范院校对代数类课程设置作大刀阔斧的改革并非易事。科学分析代数课程内容及相互联系，明确学生培养目标，师范院校对代数课程设置改革的空间依然很大。一些地方师范院校也作了许多尝试。早在20年前，湖州师范学院对“高等代数”“初等数论”及“近世代数”三门课程的内容进行整合调整[2]，三门课统一编教材，分四个学期开设。2016年开始，淮阴师范学院在大学一年级第一学期开设“初等数论”与“解析几何”，第二学期开设“高等代数”。

3 代数类课程教学的体会与改革设想

课程设置改革具有很强的学术性。在明确培养目标的前提下，如何处理课程内容的衔接、知识传授与能力培养的关系值得深究。在普通师范院校从事“高等代数”与“抽象代数”课程教学多年，“高等代数”的教材几经更换，而从教学效果及学生反馈情况来看，简单的教材更换，并不能改变历届学生对这门课的印象——抽象、难学、及格率低。一方面，正如欧阳毅教授的分析[1]，受中学数学新课标与高考指挥棒的影响，学生独立探索和抽象思维能力受到很大限制；另一方面，“高等代数”对学生抽象思维能力要求较高，而刚入学的新生还没能适应大学的授课方式，用功的学生多数采用中学数学的学习方法，忽略对数学定义及结论的理解与记忆，学习效果事倍功半，积极性受挫。教学中除了引导学生积极改变中学数学学习习惯和学习方法，更应该在课程设置与内容的衔接上下功夫。下面具体谈谈对普通师范院校代数类课程设置改革的一些想法。

首先，数学师范专业首要任务是培养合格的中小学数学教师，“初等数论”与中学数学及竞赛联系密切，掌握“初等数论”中相关知识与技巧对于师范生来说是必要的。在新生入学开设每周4学时的“初等数论”，一方面，与中学数学知识自然过渡，另一方面，以整数为实例，渗透代数学的思想方法，为后续抽象代数做一个铺垫。而在具体内容安排上，除了介绍整数整除、同余、原根及指数等基本知识外同时，以整数和同余为实例，介绍集合和映射的基本定义与性质，从而过渡到集合的划分、关系与等价。最后，介绍多项式的整除与因式分解。这里适当介绍集合和映射的相关知识，一是为后续线性空间与线性映射作准备，同时，也为学习分析与点集拓扑等课程打下了基础。

第二、三学期，开设每周5学时的“高等代数”。主要内容包括矩阵与行列式、线性方程组、线性空间与线性映射、二次型与欧式空间、相似标准形。第四学期，开设每周4学时的“近世代数”。主要内容包括群、环与域的基本概念。整数整除及同余、矩阵空间及线性映射为学习群与环的相关知识提供了实例。要使“近世代数”摘掉“枯燥、抽象”的帽子，除了尽可能多介绍实例，更关键的在于理顺群、环与域的关系，尤其是打通群与域的联系，而这正是Galois理论的精髓。

普通师范院校的任务不只是培养优秀的中小学教师，也肩负培养优秀科研人员的重任，这就需要更多关注优秀学生的培养。要为优秀学生创造好的学习环境，开阔眼界，除了在硬件方面提供条件，在软件方面，落到实处，就需要为优秀学生开设丰富的选修课。

在日益重视基础数学的形势下，代数几何与微分几何等主流数学也日益受到重视。为了减小与欧美等发达国家的差距，国家在这些方向人才培养与引进方面给予了较大投入，也取得了可喜的成绩。即使普通师范院校，为有志于未来从事代数及相关方向研究的学生开设后续代数课程是必要的。因此，后续的代数课程，例如“交换代数”“同调代数”“群与代数表示”“代数数论”等，也不应该只是出现在重点高校的课程目录中。在有条件的情况下，应该积极为学生开设这些选修课程。

对于普通师范院校代数类课程设置改革的总体思路是，按照“初等数论”—“高等代数”—“近世代数”—各类代数选修课程的开课顺序，加强代数类课程的教学。这其中需要解决的问题是，如何优化各门课程的教学内容，做到衔接有序、过渡自然、步步深入，而这需要赋予具体的教学实践以检验效果。