一石激起千层浪，层层变化皆一样——五道高考题背后的统一性质

江苏省常州市第二中学 (213000) 许 兵

数学教育家奥加涅相指出：“必须重视许多习题潜藏着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可行性”.毋庸置疑,历年高考真题是学生备考和教师研究无可替代的宝贵资料！本文对近年高考中的解析几何题进行了深入研究，在教材上找到“根源”，并发现这些经典问题存在着一个统一的优美性质.

一、真题再现

二、背景溯源

高考命题遵循“立足基础,考查能力”这一重要原则.教材是教师教学的基础和根本，也是学生学习的第一手资料，更是命题者的立足点.命题者自然寻找高考试题在教材中的生长点和命题背景，命题的想法源于教材,又不拘泥于教材.

普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修4-4坐标系与参数方程第38页例4如下：如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的交角为∠1,∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

图1

本题是一道进行类比推广和深入探究的好素材.如果把椭圆改为双曲线或抛物线，是否会有类似的结论？结论的成立是否与点P的位置无关？是否存在与条件或结论等价的命题？笔者借助GeoGebra数学软件对上述问题进行探究，得出如下性质，以上五道高考题堪称是这一性质的运用.

性质在平面直角坐标系xOy中，点P不在圆锥曲线Γ上，过点P分别作两条直线l1和l2，与圆锥曲线Γ分别交于A,B和C,D，则以下五个命题互相等价：①A,B,C,D四点共圆；②|PA|·|PB|=|PC|·|PD|；③kAB+kCD=0；④kBC+kAD=0；⑤kCA+kBD=0.

(1)由圆幂定理易得①、②是等价命题.

图2

(3)下证③、④等价.如图3，连CB、AD交于点P′，kAB+kCD=0 ⟺A,B,C,D四点共圆⟺|P′B|·|P′C|=|P′D|·|P′A|⟺kBC+kAD=0.

图3

(4)同理，④、⑤等价.

回首本文中的五道高考试题，无一不是本性质的具体呈现，而性质的原形也来源于教材，因此，我们在平时的研究中，要充分挖掘教材中的经典例题和习题，探究教材内容与高考的结合点，将“回归课本”落到实处．