椭圆中一个三角形最大面积问题

山东省邹平双语学校 (256200) 姜坤崇

山东省潍坊市昌乐县实验中学 (262400) 侯建敏

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

证法1：(i)当直线AB不与x轴垂直时(如图1)，设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),代入椭圆E的方程整理得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0①.

图1

另将直线AB的方程y=kx+m代入椭圆F的方程整理得2(a2k2+b2)x2+4a2kmx+a2(2m2-b2)=0②.

设关于x的二次方程②根的判别式为△2,则△2=16a4k2m2-8a2(a2k2+b2)(2m2-b2)=8a2b2·(a2k2+b2-2m2).于是，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，直线AB与椭圆F相切.

图2

综合(i)、(ii)，定理1得证.

均给予常规护理干预措施，包括检查前和患者核对病历资料，询问患者有无过敏史，有无高血压，女性是否怀孕等，常规心理护理和健康指导。

由以上定理1的证法2，可得如下结论：

作为本文两个定理的直接应用，可以用来解答2015年山东省数学竞赛的一道试题：

(1)求△AOB面积的最大值；

(2)是否存在椭圆C2,使得对于C2的每一条切线和椭圆C1均相交，设它们交于A、B两点，且△AOB的面积恰取最大值？若存在，给出该椭圆方程；若不存在，说明理由.