三角函数中“鸡爪模型”的变式分析*

福建省泉州市第七中学 (362000) 黄婉真 杜成北

高考中解三角形问题涉及知识点主要有：正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式，面积公式，三角形“四心”、中线、高线、角分线性质等.本文以泉州市2022届高中毕业班质量检测(一)第17题为例，谈谈“鸡爪模型”的解题策略及变式分析，希望对读者有所帮助.

1 题目呈现

本小题主要考查解三角形与三角函数基本公式等基础知识；考查抽象概括、逻辑推理、运算求解等能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；体现基础性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的关注.

2 题目探源

本题的命题思路源于2021年全国新高考Ⅰ卷第19题：记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

两道题的第(1)小题都设计了对正弦定理或者余弦定理的考查，问题相对比较简单，这里就不再赘述了.而在第(2)小题，两题都涉及到点为线段分点的情况，只不过两道题目在问题呈现方式各有不同，一个求长度，一个求角度. 泉州市质量检测(一)中，解题的关键在于利用余弦定理或者向量法求解.而全国新高考Ⅰ卷中，则是利用等面积法或者向量法求解.

3 解题思路探析

(1)过程略；

4 题目拓展

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知(a+c)(a-c)=b(b+c).

(1)求角A的大小；

(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

若b=3，c=4，点D是BC边上的一点，且.求线段AD的长.

①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线.

5 题型归纳

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，点D是BC边上的一点，就形成了如图1的“鸡爪模型”，这里按其中一爪AD的类型进行分类：

图1

(1)若AD为高线，通常联系面积公式求解.

(2)若AD为中线，可以参考解法2用向量法求解.

(3)若AD为角平分线，则利用等面积法是最快捷的解法.

(4)若D为线段BC的其他等分点，问题求的是AD的长度，一般用以下两种处理方式:

6 变式分析

“鸡爪模型”问题除了求AD长度之外，还可以给出AD长求∠BAC大小，或者求点D在BC上的分点情况等，解题思路跟上面大同小异.以下是笔者给出的变式，读者可以牛刀小试一下.