农村初中生二次函数学习困难点分析

张琼丹

贵州省大方县猫场镇初级中学（贵州省毕节市 551605）

2017 年，教育部颁布的《初中数学课程标准》明确规定：初中数学课程教学的目标，在于培养学生的抽象思维、推理能力、创新意识和实践能力。二次函数作为初中数学课程中一个重要的知识点，学生对二次函数基础知识和技能的掌握，对提高其数学抽象、推理和概括能力等都具有重要的意义。同时，纵观近年来的中考试卷我们不难发现：二次函数是一个高频考点，考题形式有填空题、选择题以及综合解答题，重点考核的是二次函数的图形与性质。二次函数在初中数学教学中的重要性，决定了初中数学教师在教学的过程中，应当强化二次函数的教学设计，以达到全面提高二次函数教学质量的目的。

作为农村初中数学教师，笔者在教学中发现：学生在二次函数的学习中，存在畏难情绪、认知障碍等问题，农村初中数学二次函数教学质量不高是困扰着广大数学教师的一大难题。基于农村初中数学二次函数的教学现状，近年来，笔者一直在思考以下问题：学生学习二次函数的困难点是什么？教师在二次函数教学中存在哪些问题与不足？如何优化和改进农村初中数学二次函数的教学？针对相关问题，本文中，笔者将结合第一个问题“农村初中生二次函数学习困难点”进行深入的探索，以期明晰问题，为后续对策建议的提出奠定基础。

1 农村初中生二次函数学习困难点调研设计及过程

为了充分了解农村初中生二次函数学习的困难点，笔者采取了实地调查研究的方式，选取笔者所执教的农村初中学校学生为研究对象，调研设计及过程如下：

1.1 调研总体设计

笔者有多年的农村初中数学教学经历，其中包括带初三毕业班、准备中考复习课等实践经验。在日常的教学中，作为青年教师，笔者也时常向一些经验丰富的“老”教师探讨经验。立足教研活动、教学实践经验，笔者发现：很多农村初中生在学习二次函数的过程中，对二次函数基础知识的掌握一般还不错，但在综合分析题中，尤其是面对中高难度的综合分析题时，学生往往会因为知识应用不够灵活、思维的局限性等而出现分析困难。通过近年来对中考数学试题的分析，笔者发现：二次函数是中考“16 分”必考考点，且考题多数出现在综合分析题中，该考点正好是学生学习二次函数的困难点之一。基于以上几点因素，笔者决定开展农村初中生二次函数学习困难点的调查研究，希望通过调查研究，进一步明确学生学习的困难点，为提出切实可行的对策建议奠定基础。

1.2 调研目的

初中数学二次函数的重要性，并不仅仅源于其是中考数学中的高频考点，更在于二次函数对培养学生的抽象推理能力的重要性，同时，初中二次函数的学习，也能够为学生进入高中之后更加深入地学习二次函数奠定基础。作为农村初中数学教师，笔者在近年来执教、与学生沟通交流、与其他教师沟通交流的过程中发现：学习学习二次函数的困难点，与教师的主观认知与理解具有一定的差异性。而这种差异性，源于教师在日常教学实践中缺乏调查、缺乏与学生的沟通交流。因此，笔者力求通过调查研究的方式，深入了解学生二次函数学习的困难点，改变教师凭借主观认知开展教学的现状，有针对性地针对农村初中生二次函数学习提出对策建议。

1.3 调研对象

本次研究选取的调研对象为：毕节市大方县猫场镇中学九年级1-4 班共计121 名学生。该四个班级学生数学成绩基本一致，教学的内容、教学进度等基本一致。针对教师的研究，主要是有丰富的九年级教学经验的数学教师，共计18 名。针对教师和学生的调查，主要以学生学习二次函数的障碍为依托，探索农村初中生二次函数学习的困难点。

1.4 调研实施过程

本次调研，采取调查问卷、访谈、测试相结合的方式。

首先，编制调查问卷。调查问卷分为教师调查问卷和学生调查问卷两种，其中，涉及教师的调查问卷，主要是搞清楚教师严重二次函数学习的困难点，了解教师在教授二次函数章节的知识时，拟采用的教学方法、备课情况以及课堂教学情况等；针对学生的调查问卷，主要是结合学生在二次函数测评中，容易出错的点、学习二次函数过程中存在的困难，对教师二次函数教学的建议几个方面入手。

其次，测评卷的编制。测评是了解学生学习薄弱点的有效方式。为了充分了解农村初中生二次函数学习的困难点，在调研进行的过程中，笔者采取了随机测评的方式，结合测评结果分析学生二次函数学习的障碍、或困难点。测评卷涵盖了初中二次函数重要的知识点：包括二次函数的概念、定义；图像平移；二次函数的图形与性质，数形结合思想；求二次函数的解析式、二次函数的应用等。

第三，调查与测评的实施。本次调查的实施、测评的实施等可以同步进行。在编制好调查问卷之后，调查小组开展实地的问卷调查、访谈，并同步开展二次函数的测评，回收相关的问卷以及测评卷，对问卷数据进行统计和分析，对测评卷进行批改、分析，了解学生测评过程中的知识薄弱点。

2 农村初中生二次函数学习困难点分析

通过问卷调查、访谈以及测评，立足笔者一线农村初中数学教学实践经验，总结分析农村初中生二次函数学习的困难点体现在以下几个方面：二次函数的概念、二次函数的图像与性质、确定二次函数的解析式、二次函数的应用。而上述的困难点，呈现于不同学生的身上，具体表现如下：

2.1 二次函数的概念

常言道：基础不牢，地动山摇。在执教农村初中数学的过程中，笔者也常常教导学生应当重视基础知识的掌握。只有基础牢固了，才能够在数学的分析与实践中灵活自如地应用知识，提高学习质量。本次调查研究中，结合学生的测评卷我们可以清晰地看见：在二次函数基础概念的掌握方面，依然有部分学生掌握得不够牢固，如二次函数概念的表述、二次函数方程式的判断等，具体表现如下：

从图1 可见，关于“什么是二次函数”这个问题，其实就是一个极其简单的基础概念题，其主要目的就是看学生能否完整地、准确地表达二次函数的概念。当然，测评的目的，并非是要让学生一字不漏地背诵二次函数的概念，学生能够用自己的语言完整的表述也可以。但事实证明，依然有部分学生不能表述二次函数的概念，包括结合自己的理解用自己的语言表述。

图1

图2 中，这道题本质上也是针对学生二次函数概念掌握情况的考察。在批改这道题的过程中，笔者发现很多学生出现错误，而出现错误的具体原因为：学生在判断含有未知参数的解析式时，会忘记“二次项系数不能为0”这个关键条件。结合这道题，笔者又开展了与学生的深入沟通交流，结果表明：部分理解能力弱、学习能力弱的学生，并不能真正理解“二次项系数不能为0”这个条件，很多时候学生只能死记硬背。正是因为学生的不理解，导致在判断的过程中容易出现错误。

图2

图3 这道题也是对二次函数基础知识的测评。这道题也是学生错误集中的题目，而分析错误原因，在于学生在判断二次函数解析式时，采取了直接判断的方式，而非先进性合并化简。

图3

以上三道题，采取了不同的方式针对学生二次函数的掌握情况进行了测评。测评结果标准：二次函数基础知识依然是学生学习过程中的一个困难点，学生出现的相关错误表明：在学习二次函数基础知识时，学生并没有灵活的理解、掌握和应用，而是采取死记硬背的方式。这种死记硬背的方式，容易导致学生在面对一些有干扰条件的题目时，因不能够灵活地应用知识而出现解题错误。

2.2 二次函数的图像与性质

相比较二次函数的概念知识而言，学生在二次函数图像与性质的学习中存在更多的困难点，这种困难点不仅仅体现为学生的知识理解层面，更体现在思维层面，主要表现如下：

首先，作图方面。在二次函数图像与性质的学习过程中，作图也是学生应当掌握的一项基本技能。然而，在二次函数的作图方面，很多学生存在不会作图的问题，尤其是对“平移”的作用理解不深，如特殊二次函数到一般二次函数的平移规律，很多学生是不掌握的。正是因为学生对相关知识的掌握不深，导致在后期的学习过程中，学生很难准确地作出一般二次函数的图像。为什么会出现上述的困难点呢？笔者通过分析发现：在学习二次函数图像与性质的过程中，依然有部分学生存在死记硬背的现象，如对“上加下减、左加右减”规律的背诵，学生仅仅是教条化的记忆而非灵活地理解，导致在实际问题的解决过程中，学生不懂得灵活应用、举一反三，机械化的学习往往导致机械化的结果，最终导致学生在作图的过程中，不会选择合适的点，难以画出完整的图像。

其次，对二次函数解析式二次项系数、一次项系数以及常数项的数量关系的判断。初中数学二次函数的图像有很多“特征点”，包括：顶点、对称轴，图像与y 轴的交点等。这部分知识点也是学生学习二次函数的一大困难点。通过深入分析，笔者发现：学生在学习二次函数的过程中，之所以不能对相关知识点建立直观的认知，源于在数学课堂上，学生很难有真正画图实践的机会，多数时候，学生都是在听教师讲，“数形结合”的意识和能力低下。而死记硬背的学习方式，导致学生在应用的过程中常常存在机械、僵硬的特点，最终出现判断和解题错误。

2.3 确定二次函数解析式

二次函数作为历来中考数学中的必考点，且常常是以最后大题的形式出现。而在大题的解答过程中，前面的小问题多数是让学生求解二次函数的解析式。因此，对二次函数解析式的深入理解和把握，对学生应对综合分析题具有重要的意义。在开展调查研究的过程中，调查组设计了一道题，测评学生对二次函数解析式的掌握情况，题目如下：

就初中数学二次函数的教学而言，问题7 仅仅是一道相对比较简单的综合分析题。涉及的知识点包括：二次函数的顶点式代入求值；图像对称以及三角形面积的求解知识点。但在求解这道题的过程中，依然有部分学生出错。深入分析错误的原因，主要源于学生在解答问题时粗心大意，如部分学生在设句中，忘记写“a ≠0”这个条件，同时，部分学生在解题过程中，忘记了顶点式这个知识点，导致解题错误。整体而言，针对这道题，学生整体的正确率还是挺高，达到了班级整体人数的89%。在第二个小问题的求解中，学生解题的困难点在于不会求点B 的坐标。

2.4 二次函数的应用

在教育改革不断深入发展的背景下，培养学生的应用实践能力，乃是教师教学的重点。诚然，基于发展学生数学核心素养的需要，初中数学教师在教学中，也应当重视学生应用实践能力的培养，实现“学以致用”的目标。于初中学生的数学学习而言，二次函数的知识点不仅仅是重要的考点内容，更有助于帮助学生解决实际的生活问题，提高实践能力。因此，关于初中数学二次函数的考题中，也有很多涉及应用的考题，最为常见的是关于利润、销售量变化规律的实际应用。为了充分了解初中学生二次函数的应用能力，本次测评中，测评小组精心设计了题目如下：

这是一道关于二次函数应用的常见题型，很多教师在教学实践中，也会开展类似典型例题的讲解。但一直以来，类似的习题错误率一直居高不下。本次测评中，关于这道题的解答，正确率仅为55.3%，也就是说：近一半的学生在解答这道问题的过程中出现了错误。针对这道错误率居高不下的题目，笔者开展了和错题学生的沟通交流，结果表明：一些学生在解答这道题的过程中，连题目的意思都不甚理解，不解题意，又如何解题呢？此外，部分学生在解答该题的过程中，对题目中的等量关系把握不够准确，如商品的利润=售价—进价；本题的一个关键点还在于“每提高2 元售价，销量减少5 套”，很多学生在分析等量关系的过程中，因思维混乱而难以找寻到切入点，最终导致问题解答错误甚至空白交卷。

3 总结

二次函数系初中数学教学的重要组成部分，不仅仅是中考数学中的高频考点，更是学生生活应用、实践的重要知识点。在农村初中数学的教学中，由于受到各种主客观因素的影响，导致学生在学习二次函数的过程中存在很多困难点，主要表现为：二次函数的基础概念、二次函数的图像与性质、二次函数解析式的求解、二次函数的应用等。针对相关的困难点，初中数学教师应当立足学生的实际情况，有目的、有针对性地开展教学研究，优化二次函数教学，针对学生知识的薄弱点开展强化讲解，各个击破消除困难点，提高二次函数的教学质量。