以转化思想为核心 打开学生主动学习的一扇门——以“平行四边形的面积”教学为例

方 勇

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对义务教育阶段数学课程标准进行了整体设计和系统完善，其中特别提到课程内容结构的调整，提出要围绕发展学生核心素养，精选和设计课程内容。笔者试图就小学数学“空间与图形”领域中有代表性的“平行四边形的面积”一课为例，逐步发展学生的数学核心素养。平行四边形的面积计算方法是在学生掌握了长方形、正方形面积计算方法之后学习的，也为之后学习三角形、梯形、圆形等图形面积计算公式奠定了基础，在图形面积公式教学中起着承上启下的重要作用。在平行四边形面积计算的学习探究过程中，学生第一次运用转化的方法探索面积计算公式，学生获得的数学思想、活动经验对学生下一步探索其它图形面积公式具有很高的引领价值，因此转化方法的习得和转化思想的渗透无疑成为本课教学的重要目标，笔者试图以转化思想为核心，培养积累学生在数学抽象、逻辑推理、运算能力和个人修养方面的数学素养，打开学生主动学习的一扇门。

一、“问题生成单”——导学激疑促主动思考，初步感受转化

（一）回顾旧知

教师首先出示“问题生成单”，见图1。“问题生成单”首先让学生根据已经学习过的图形面积计算方法——数方格的方法计算出平行四边形和长方形的面积，以小组为单位进行测量计算，小组内可以互相交流，同时记录在此过程中遇到的问题，最后，在全班同学前进行汇报。在数方格的过程中，教师可以提示学生将不足一格的按半格计算，两个半格合成一个整格进行测量，并展示了最终的测量结果（见图2）。学生通过数方格的方法计算图形的面积，不仅复习了长方形面积的计算公式及计算过程，也为平行四边形面积计算公式的推导过程做了一个参考和对比。

图1

图2

（二）引发思考

学生通过观察、比较平行四边形和长方形面积的结果发现，平行四边形的底和高分别与长方形的长和宽相等，而且两个图形的面积也是相等的，这会引起学生的进一步思考和猜想：平行四边形与长方形有着什么样的密切联系，平行四边形的面积计算公式= 底× 高是否成立呢，是否可以把平行四边形转化成长方形，怎样转化呢等，引起了学生接下来验证猜想的兴趣。

通过问题生成单，教师让学生主动去尝试并寻找规律，激发学生的思考，同时学生也会在解决问题过程中，会产生一些疑问和问题，于是学生会带着问题和思考走进新知，成为了学生主动思考的催化剂。我们都认同让学生感受数学、经历数学、体验数学是学生学习数学的最佳方式，因此在教学之初把课堂还给学生，利用“问题生成单”贯穿全课，为学生提供自主学习的时间和空间。

教学反思：回顾、迁移、探寻。教师要充分利用学生已有的活动经验，引导学生选择合适的方法展开有效的探究。在课堂上，老师先让学生“回顾”用数方格方法测量平行四边形的面积，方格纸形象直观地提示了剪拼的一般方法，也为绝大多数同学理解“等积变形”提供了可靠的基础。在观察、比较、填表的基础上，很多学生惊奇发现，“长方形的面积= 长×宽，而平行四边形的面积也正好等于底乘以高”，从而形成猜想“平行四边形的面积是否等于底乘以高呢？”抓住这一猜想，激发了学生脱离方格纸的个例来操作验证这一猜想是否成立就成为了当务之急。有了“数方格”的活动经验，加之对剪拼整合的直观感受，学生们潜意识地联想到剪一剪、拼一拼，把一个平行四边形转化为一个与它面积相等的长方形，把新知向旧知进行“迁移”，使学生明确平行四边形与长方形的内在联系，这也便于从已有图形面积计算公式“探寻”新的图形面积计算公式，使学生明确面积计算公式的意义和来源。

图3

二、“学路建议”——问题引领促主动猜想验证，逐步引入转化

平行四边形是否可以转化成长方形、平行四边形的面积是不是等于底乘以高这还只是一个猜想，仅仅通过一个例子就下结论，显然没有说服力。教师需要鼓励学生们进一步验证。事实上，学生对于平行四边形的操作经验，是伴随着对平行四边形认识的过程逐步积累起来的，在探究平行四边形面积时，实现两种图形的转化就成为学生的自觉需要和自然发现，在学生自主探究的过程中，教师要帮助学生理清：一是为什么要这样转化，使学生清楚地意识到转化的目的是什么，即探究验证平行四边形的面积等于底乘以高；二是转化是否会引起测量结果的变化，即平行四边形的面积与长方形的面试是否还相等。针对以上思考，教师要引导学生回答下面三个问题：拼出来的长方形与原来的平行四边形相比，面积变了吗；拼出长方形的长和宽与原来的平行四边形的底和高有什么关系；能根据长方形的面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式吗。针对这些问题，老师提出了本节课的“学路建议”，即研究内容和方法（见图4）。

图4

接下来学生以小组为单位开展了五个步骤的学习活动：选择问题——独立思考——小组合作——记录过程——组间互访。小组合作学习让学生经历从未知向“已知”转化的探索过程，但这一过程的有效性很大程度上取决于教学视角与学生的“已知”状态是否匹配。因此，在小组合作学习探究的过程中，有三个问题是值得我们思考的：

其一，引发学生转化意识的切入点在哪里?

其二，转化后如何探求平行四边形面积的计算方法?

其三，图形转化的探索过程留给学生什么样的活动经验?

学生的数学理解和抽象能力在对这些问题的思考中得以发展，面积公式的推导在丰富的体验中逐渐明晰并自觉应用。可以说，着眼于实践层面的意义解释和反复体验，虽然会拉长知识的抽象过程，但也会使这一过程更具自觉性和稳固性。学生共分4 组开始了验证猜想的探究过程。

三、主动探究——小组合作学习促多元思维，正式经历转化

（一）问题选择：研究平行四边形面积大小与底和高的关系

探究方法：数方格的方法、制作可以拉伸的四边形框架

探究过程：第1 组在钉子板上围出了几个底和高都不同的平行四边形，用几个不同大小的平行四边形来说明面积与底和高的关系。这几个底和高都不同的平行四边形，通过数方格的方法，学生们发现它们的面积与底乘高计算的结果是一样的。

结论：平行四边形的面积与底和高有一定的联系。

图5

第2 小组制作一个可以拉伸活动的四边形框架（图6），它的4 条边是不变的，但是把它拉扁一点，面积就变小了，再拉扁一点，面积就更小了，

图6

结论：底边不变，但是高变矮了，所以我们认为平行四边形的面积与它的底和高有着密切的联系。

（二）问题选择：研究平行四边形怎样转化成长方形

探究方法：割补法。

探究过程：第3 小组沿着顶点的高剪开，然后把它平移到另一边，就割补成了长方形，原来平行四边形的底变成了长方形的长，原来平行四边形的高变成了长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。

图7

结论：平行四边形面积=底×高。

第4 小组提出，不一定要沿着顶点的高剪开，沿着中间的任意一条高剪开，都可以把平行四边形割补转化成长方形。沿着任意一条高剪都能成功。但必须有直角，没有直角是不能拼成长方形的。

图8

图9

师生共同总结：沿着顶点的高剪开，然后把它平移到另一边，就割补成了长方形，形状变了，面积不变。原来平行四边形的底变成了长方形的长，原来平行四边形的高变成了长方形的宽，因为长方形的面积= 长× 宽，所以平行四边形面积=底×高。

教学反思：

1.研究“平行四边形的面积与底和高有关吗？”这个问题，第1 小组选择了几个不同大小的平行四边形来说明这一点，而第2 个小组则选择了一个“平行四边形活动框架”，拉动后面积变小是因为高变矮了，由此说明面积与底和高有关。

2.研究“平行四边形怎样转化成长方形”这个问题，第3 小组沿顶点的高剪开，第4 个小组沿中间的任意一条高剪开、沿斜边中点剪开交叉平移等。学生通过各个小组的汇报演示，展示着自己不同的思维方式。

这一系列真实的探究活动，让我们看到学生对转化方法的理解从感性提升到理性，把概括公式过程的学习材料从个例推向一般。基于图形特征运用“朴素证明”的过程，让学生体会到知识的联系与应用，而且在追根溯源的讨论中培养了数学的理性精神。

四、“课末检测单”——分层作业完善课堂评价，积淀学生核心素养

师：祝贺大家，终于推导出了平行四边形的面积计算方法，我们可以下“结论”了。

生：平行四边形的面积等于底乘高。

师：你们喜欢用字母来表示吗？

生：。

师：相信大家已经迫不及待地想利用这一计算公式来解决实际问题了，那就拿出课末检测单。出示A 类基标必做题。请看例1，独立解决在检测单上。

图10

生：（板演例1）我们知道，然后用6×4=24（平方米）。

师：大家掌握得不错，老师这里还有个问题。你能想办法计算这个平行四边形的面积吗？上来演示一下。还有什么办法？

生：这个平行四边形的面积既可以用15×4 来计算，也可以用5×12 来计算，都等于60平方厘米。

师：能用15×12 来计算这个平行四边形的面积吗？在计算平行四边形面积时需要注意什么？

生：找到对应的底和高才能相乘，15 和12 不是平行四边形对应的底和高。

下面请同学们独立解答A 类题练习1、2，教师巡视批改辅导。

出示B 类拓展选做题，由学生推荐或自荐来当小老师进行讲解。

图11

研究B 类第1 题。

生：这四个平行四边形的面积相等，因为同底等高的平行四边形面积相等。

师：那么不同底也不等高的平行四边形面积有可能相等吗？

生：当然有可能，只要它们的底与高相乘的积相等，面积就相等。

研究B 类第2 题。

生：面积为12 的平行四边形它的底和高可能是1 和12,2 和6,3 和4，还可以把底和高反过来，所以我想到了6 种不同的平行四边形。

师:大家要注意这只是在整数范围来考虑，如果拓展到小数范围，那就有无数种情况了。

师：这节课我们运用割补法，把未知的平行四边形转化为已知的长方形，从而推导出平行四边形面积的计算公式，祝贺大家。在后面我们研究三角形和梯形的面积时，是否还会用到转化的思想，又会产生哪些新的问题呢？让我们拭目以待。（链接下节课的“问题生成单”）请同学们认真预习。

教学反思：练习环节，在“课末检测单”中设计了弹性分层的作业，我们以A 类题和B 类题的形式呈现给学生。A 类和B 类分别对应课堂学习中的不同层次水平。

A 类基标必做题：

（1）运用计算公式直接计算面积旨在知识与技能的巩固；

（2）选择对应的底和高计算面积旨在解决问题能力的培养。这类题具有普遍检测意义，是学生学习本节课后应达到的知识技能的底线标准，亦可作为教师检测教学目标是否达成的重要依据。

B 类拓展选做题：

（1）“同底等高的平行四边形面积是否相等？”是知识性的拓展；

（2）思维游戏：“面积为12 的平行四边形，它的底和高可能是多少？”是思维性拓展。在整数范围讨论有如上六种情况（图12），如果拓展到小数范围，那就有以下无数种情况了（图13），这样的逆向思维游戏很大程度上提升了学生的逻辑推理能力，这也是培养数学核心素养的必备要素。

图12

图13

为了深度挖掘学生不同的思维层次资源，反复地将学生抽象出的“底乘高”算法引导到运用图形进行形象化的推理上。在思维拓展练习中不仅再次让学生经历了图形形象、表象模型与抽象公式的对照互动过程，更是让其经历了运用计算公式反向思维图形变化情况的学习过程。可以说，学生正是在这种形象、表象和抽象的来回穿行与比照中，促进了对面积计算公式的理解，提高了运用几何图形解释和思考问题的意识能力，这应该是众多探究式学习所追求的价值取向。

综上所述，笔者试图以新发布数学课程标准的相关要求，在培育学科核心素养的数学抽象、逻辑推理、运算能力和个人修养等方面，努力创造并带给学生一个主动求知、合作学习、释放潜能、多元发展的有效课堂，问题质疑、问题探究、解疑分享、思维拓展、课末检测，至始至终把课堂还给学生，给学生极大的自主学习时间和空间，让学生动起来，课堂才能活起来，真正还学生以学习主人的地位，这样的数学课堂才是灵动和学生喜闻乐见的。