数形结合思想在数学教学中的应用探研

邹团军

摘要：数学教学活动的开展，并不只是帮助学生认知数学基本知识，还需要引导学生把握数学规律，培养学生的数学思维及数学能力。数形结合思想有机结合抽象的“数”与表象的“形”，将其应用于数学课堂教学实践，既能提高学生的数学学习效率，又能提升学生的数学核心素养，提高教学实效。文章结合教学实践，对数形结合思想在数学教学中的应用进行探究。

关键词：数学教学；数形结合思想；数学素养；教学实效；核心素养

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2022）21-0113-04

初中数学由数量关系与空间形式组成，二者相辅相成。数量关系的抽象性特征明显，而空间形式较为直观，数形结合思想则结合抽象的“数”与直观的“形”，利用图形性质或位置关系来转变抽象的数量关系，或依据相关元素的数量计算图形间的关系。数学课堂教学中应用数形结合思想，不仅能帮助学生透彻、深入地理解数学知识，还能帮助学生高效解决复杂的数学问题。因此，教师要将数形结合思想应用于新知教学、习题解答以及阶段复习等各个环节，提高学生数形结合思想应用意识，提升学生数学核心素养。

一、数形结合思想的内涵及特征

数形结合思想是通过代数与几何图形的结合，高效解决复杂的数学问题。数形结合思想的应用，一般有两种方式：一种是利用直观形象的图形将抽象数据之间的联系揭示出来；另一种则是利用数的严密性优势对图形的某些性质进行阐明。和其他数学思想相比，数形结合思想具有以下特征。其一，形象性。数学知识较为抽象，教师单单采用语言讲解、数据推导等方式，无法帮助学生将知识网络构建起来。而数形结合思想能够利用图形转化数据、数据转化图形进行推导，与学生的形象思维特征相符合。其二，双向性。数形结合思想能够相互转化数量关系与几何图形，具有明显的双向性特征。部分数学问题较为复雜、抽象，利用数的知识难以有效阐明，而利用图形可以进行简化处理。部分题目采用画图方式将会增强解题过程的烦琐性，而利用数量关系可以直接进行处理。结合数学问题的实际类型，选择适宜的解决方式，能够提高数学问题的解答效率，促进学生的思维发展。

二、数形结合思想在数学教学中的应用优势

目前，部分数学教师依然将传统的教学模式沿用过来，向学生灌输教材中的数学知识。在这种教学模式下，学生虽然能够理解教材中的例题，但无法充分掌握题目中所蕴含的数学思想，一旦改变题目中的条件，就难以顺利解决。而在数学课堂中渗透数形结合思想，则能够有效规避这一问题。

1.透彻理解数学概念

数学概念高度概括了空间形式与数量关系，存在着较大的抽象性，学生往往难以理解。在以往的教学中，教师仅仅让学生记忆文字表述，无法从本质上理解数学概念，严重影响学生数学学习成效。数形结合思想的应用，则可以形象直观地反映数学概念，降低学生理解记忆的难度，帮助学生更加深刻地认知数学概念的本质。

2.构建数学知识网络

在数学教学过程中，教师要不断发展与完善学生的数学认知结构，帮助学生建立数学知识之间的内在联系。数形结合思想的应用，能统一数学课程中的空间与数量关系，帮助学生准确把握数学本质。学生原有的知识经验直接影响到新知识的学习效果。数形结合思想的应用，能够让学生借助已有的知识理解新的知识，不但新知学习效率得到提高，而且可以联系数学知识模块，促使学生的认知结构得到发展，构建数学知识网络。

3.高效解决数学问题

数形结合思想能够直观转化抽象的数量关系，帮助学生高效解决复杂多变的数学问题。一方面，通过应用数形结合思想，学生能够统一数学问题中呈现的数与形，简化处理复杂的数学问题，降低问题的解决难度。另一方面，不同数学能力的学生在解决数学问题时，会产生差异化的思维活动。通常情况下，思维能力越高的学生往往只有很短的思维过程。反之，将会产生冗长的思维链，无法顺利解决数学问题。数形结合思想的应用，能够用学生较为熟悉的认知模块取代部分思维链，这样学生的思维链可以得到简化，有助于提高数学问题的解答效率。

4.激发数学学习兴趣

和文史等其他学科相比，数学学科较为复杂和单调，导致很多学生的学习兴趣不高。同时，部分教师采用传统的教学模式，没有充分考虑学生的接受能力与学习需求，导致学生在学习过程中难以获得成就感，逐渐丧失学习探究的热情。数形结合思想的应用，能有机结合抽象数式与直观图形，学生不再需要枯燥记忆数学知识，数学学习体验得到进一步增强，数学学习兴趣得到进一步激发。数形结合思想的应用，能够对一些难度较大的数学问题进行简化处理，克服学生的心理障碍，提高学生学习效率和学习质量。

三、数形结合思想在数学教学中的应用策略

1.把握数形结合思想的渗透原则

为保证数形结合思想的应用效果，教师不能生硬地向学生灌输数形结合思想，而要结合教学内容和学生的学习特点，采用适宜、巧妙的方式方法进行渗透。数形结合思想的应用虽然方式并不固定，但需遵循一定的原则。其一，直观性。形象思维在学生的认知活动中依然发挥着主导作用，通过采用形象直观的渗透方式，学生可以更加轻松地理解与掌握数形结合思想。从本质上讲，数形结合思想指的是相互转化、联系图形表征与符号表征，在数学课堂中应用数形结合的目的是降低学生的理解难度，培养学生的数学能力。因此，教师要严格遵循直观性的原则，应用实物直观、模象直观、多媒体教学等多种直观教学手段，深入结合图形、文字与声音等，全方位刺激学生的多重感觉器官，在激发学生探究热情的基础上，帮助学生深入理解数形结合思想内涵，引导学生主动应用于数学知识学习当中。其二，主体性。数学教学活动由教师的“教”与学生的“学”组成，只有完美协调“教”与“学”之间的关系，才能保证数学教学效果。因此，在渗透与应用数形结合思想的过程中，教师既要将自身的主导地位体现出来，又要将学生的主观能动性发挥出来，鼓励学生自主感悟、练习与运用数形结合思想。其三，循序渐进性。学生的认知发展过程呈现螺旋式上升的特征，教师在渗透、应用数形结合思想时，要将学生的思维特点纳入考虑范围，坚持循序渐进的原则，准确把握学生的认知能力和水平，选择适宜的渗透方式方法，帮助学生逐步掌握数形结合思想。

2.挖掘教材中的数形结合思想素材

为保证数形结合思想的渗透效果，教师要摒弃灌输式教学方式，将数形结合思想自然而然地渗透到课堂教学的各个环节，在帮助学生理解数学知识的基础上，让学生掌握知识中所蕴含的数形结合思想。教材是开展教学的依据，也是数形结合思想的载体。因此，在备课过程中，教师要深入剖析章节教学内容，挖掘蕴含数形结合思想素材，通过科学处理与巧妙设计，帮助学生理解与掌握数形结合思想。同时，教师可利用课余时间，总结归纳教材中蕴含数形结合思想的内容，结合教学计划，明确数形结合思想渗透的节点与方法，切实保证数形结合思想的渗透效果。

3.利用情境激发图形表征意识

和数的表征相比，图形表征具有直观、形象等特点，能够帮助学生理解和掌握数学知识。因此，在数学课堂教学中，教师要充分把握数形结合思想的本质，创设符合学生认知特征的教学情境，促使学生的图形表征意识得到有效激发，以提高课堂教学效率和教学质量。教师要鼓励学生利用直观的图形表征转化抽象的数字表征，将数形结合思想表象、表形的优势充分发挥出来。初中学生虽然形成了一定的抽象思维，但更容易接受直观的图像表征。因此，教师要善于利用表象、表形的直观图形来呈现抽象的数学概念等内容。这样不但能提高学生的数学学习效率，还能提高学生的观察意识和观察能力。初中学生虽然已经接触到图形表征，但往往不能将其主动应用于数学学习或代数问题的解决之中。因此，教师要创设教学情境，引导学生在学习抽象数学概念、解决复杂数学问题时主动运用图形表征。例如，在教学“数轴”这一知识内容时，为帮助学生掌握数轴的概念，教师既可以向学生直观展示数轴的画法，也可以创设实物情境，将学生较为熟悉的温度计、秤杆等用于课堂教学，利用生活中的具体模型诠释数轴概念。这样，学生就能够联系数轴与直观图形和实物，将数轴的概念以及三个关键要素抽象出来。

4.观察探究图形表征中的代数意义

初中数学教学，非常重要的一个目标是培养学生的数学观察能力。因此，教师需要引导学生直观感知事物，对数学对象的形式特征、性质关系、变化规律等进行了解与获取。学生如果能够利用图形表征解决具体的数学问题，将能够更加深刻地感知形象直观的图形。受主客观因素的综合影响，学生往往缺乏良好的图形观察能力和以形思数的分析能力，导致其难以在数学知识学习、数学问题解决中熟练应用数形结合中的“以形助数”思想。面对这种情况，教师在应用数形结合思想时，要着重引导学生观察直观的几何图形，将几何图形中所蕴含的代数意义充分挖掘出来，利用具有算法性的“数”抽象转换为直观的几何图形，深入探讨图形的代数意义，发展学生的抽象思维能力。数形结合思想的应用，非常重要的一个方面是引导学生运用图形表征数学问题，深入观察由问题转化而来的图形，进而分析图形的代数意义。以常见的几何证明题为例，皆可运用这种方法。学生通过直观感知事物或图像，将其中有价值的数学信息挖掘出来，对图形中所蕴含的数量关系进行准确把握，能够对数学对象的形式特征、性质关系等进行充分了解，有助于数学核心素养的提升。

5.相互转换与推理不同的数学表征

数形结合思想涵盖“以形助数”“以数解形”等多方面内容，需要学生利用不同的表征形式转化处理数学学习对象。例如，通过应用符号表征形式，可高效分析、转化、推理数学对象或数学问题。而应用图形表征形式，则可将形的直观优势发挥出来，形象表述抽象的数学信息。只有综合运用多元化的表征形式，针对性处理具体的数学对象或问题，才能提高学生的数学学习效果。对代数的抽象符号表征功能过于重视，虽然符号表征逻辑性优势能够得到发挥，但数学学习难度将会增大，无法对数学知识的本质意义进行获取。因此，教师要引导学生配合应用直观的图形表征等形式，更加全面地诠释数学问题。这既可以将不同数学表征的优势发挥出来，又能够提高学生的数学学习能力。同时，学生在推理转化不同数学表征的过程中，逻辑推理能力、“数形合一”能力会得到有效培养。一般来讲，在解答分析代数问题时，需应用几何表征。而在解答分析几何问题时，则要善于应用数的表征。转换表征形式，能够将形的直观性优势、数的逻辑性优势全面发挥出来，有助于培养学生的图形观察、推理论证等能力。因此，在初中数学教学实践中，教师要引导学生推理与转化多元表征，有机结合学生的直观思维与抽象思维，促使数学问题得到顺利解决。以“概率与统计”知识内容为例，教师可通过文字、表格、图形等多种表征形式进行呈现，科学转化不同表征，以培养生的数形结合数学和逻辑推理能力。

6.利用现代信息技术优化应用效果

近些年来，教师在数学课堂中开始应用几何画板等现代教学工具，改变了课堂教学模式及流程。数学教学与信息技术的融合，能够直观生动地呈现不同表征形式的转换过程，帮助学生深入掌握数形结合思想的实质。信息技术的应用，不仅可以更加高效地融合直观的形与抽象的数，冲击学生的视觉感官，还可以将数学思维过程展现出来，有助于提高数形结合思想的应用效果。以“几何画板的应用”为例，教师可利用直观的线条、图式等呈现抽象的数学概念。在解决一些抽象问题时，教师可利用图形变化动态呈现问题的解答过程。例如，在学习“反函数”知识时，教师可依托几何画板、电子白板等信息化工具对反函数的图像进行呈现，引导学生仔细观察图像内容，挖掘反函数的性质，于无形中渗透和反映数形结合思想。由此可见，现代信息技术对数形结合思想的应用具有重要的促进作用。教师要积极学习各类现代信息技术的应用技巧，深度融合常规教学方式与信息技术，提高数形结合思想的应用效率和应用质量。

7.深度融合数学课堂各个教学环节

现阶段，部分教师虽认识到数形结合思想的应用价值，但主要在解题教学环节应用，与其他教学环节的融合度不高。要改变这种状况，教师就要将数形结合思想渗透于课堂教学的各个环节。其一，概念教学。学生对数学概念的理解，直接影响到整体数学水平。学生要想透彻理解数学概念，需经历剖析、类比、转化等一系列思维加工过程，存在着较大的难度。在以往教学中，教师往往直接让学生记忆概念内容，不仅容易遗忘，还无法透彻理解概念的本质。数形结合思想的应用，可将概念的概括性表述转化为直观的图形，引导学生还原、体验概念的形成过程，准确把握概念中数、形关系，以便深入理解概念。其二，定理教学。公式定理是数学知识的重要内容，只有充分掌握公式定理的内涵及应用方式，才能正确运用。初中数学公式定理较多，学生在学习过程中容易出现混淆现象，往往不能熟练、正确地加以应用。这一问题的存在，根本原因在于学生没有正确理解和牢固掌握公式定理。为强化学生的理解和掌握，教师要创新教学方式方法，采用文字表述与直观图形相结合的方式进行讲解，帮助学生深入理解、牢固掌握公式定理。其三，解题教学。教师在例题讲解中会投入大量的时间和精力，而学生往往能够解决与例题相类似的数学问题。主要原因是教师采用的解题方式单一，没有注重数形转化，导致学生的思维受到束缚。要改变这种情况，教师在解题教学过程中就要渗透数形结合思想，引导学生利用直观图形对复杂的题目条件进行转化，降低数学问题的解答難度，培养学生的解题能力与思维能力。其四，阶段复习。教材依据学生的认知发展规律，在不同章节内容中蕴含数形结合思想。教师在带领学生进行阶段性复习的过程中，要引导学生提炼各章节内容中所蕴含的数形结合思想。以“一次函数”章节为例，此章节的知识点比较分散，在复习过程中，教师可引导学生利用数形结合思想重新组织与总结各个知识点，帮助学生建构起完整的知识结构。

四、結语

综上所述，数形结合思想在学生的数学学习过程中发挥着十分重要的作用，教师只有引导学生充分理解和掌握数形结合思想，才能提高学生的数学学习效率和学习质量，提升学生的数学核心素养。因此，在数学教学中，教师要注重渗透数形结合思想，促进学生思维能力发展。为保证数形结合思想的渗透效果，教师要综合考虑学生的接受能力，选择适宜的教学方法，在课堂教学的各个环节全面渗透数形结合思想，帮助学生透彻理解数形结合思想的本质，掌握数形结合思想的应用方法，提高学生的数学学习能力。

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Exploration of the Application of the Thought of Combination of Number and Shape in Mathematics Teaching

Zou Tuanjun

（Jingning No. 4 Middle School， Gansu Province， Pingliang 743400， China）

Abstract： The development of mathematics teaching activities is not only to help students understand the basic knowledge of mathematics， but also to guide students to grasp the laws of mathematics and cultivate students mathematical thinking and mathematical ability. The combination of number and form organically combines the abstract "number" and the "form" of representation， and applies it to the practice of mathematics classroom teaching， which can not only improve the students efficiency of mathematics learning， but also improve the students mathematics core competence and improve the teaching effectiveness. Combined with teaching practice， this paper explores the application of logarithm shape combination thought in mathematics teaching.

Key words： mathematics teaching； the thought of combination of number and form； mathematics literacy； teaching effectiveness；core competence