线段长度问题的求解策略探析

卢怦卉 高明

【摘要】数学中考试题广泛而深刻，其解答方式千变万化，教师应有意识让学生从多种角度思考问题，拓展解题思路，优化解题技巧.线段长度问题一直以来都是中考热点，本文以“数”、“形”为基础，结合代数、几何知识，多角度探究解决这类问题的策略，以简化解题步骤，提高解题效率.

【关键词】解题思路;几何知识;解题步骤

试题再现 （2021 成都市中考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y= 33x+2 33与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长度为 .

1 巧借“三角”，解三角

如图2设直线AB交y轴于点C，过点O作OD⊥AB于D.

y= 33x+2 33与⊙O相交于A，B两点，则A（0，-2），C（0，2 33）.

则OC=2 33，OA=2，Rt△AOC的正切为 33，则∠CAO=30°;

结合Rt△AOD，求得AD= 3，由垂径定理可得AB=2 3.

另解 过点B作x轴的垂线，交x轴于点E（图3），由y= 33x+2 33 ①=1＼*GB3，

圆的方程为 x2+y2=4（OA=r=2） ②=2＼*GB3联立①=1＼*GB3②=2＼*GB3可求出B（1， 3），则E（1，0），AE=3，

由上述可知∠BAE=30°，AB=2 3.

2 巧借“勾股”，求弦长

如图3由探究1得∠BAE=30°，则ODAD= 33.

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

OD= 33AD，得AD= 3，

AB=2 3.

3 巧借相似，解比例尺

如图4设直线AB交y轴于点C，过点O作OD⊥AB于D，过点B作x轴的垂線，交x轴于点E，易知OA=2，OC=2 33.

在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，

得AC=4 33.

易证△AOD∽△AOC，则AOAC=ADAO，AD= 3，所以AB=2 3.

同理，我们可以证明△AOD～△ABE，这里不做详细赘述.

除了利用相似三角形线段相似比求解线段长度，本题还可以利用相似三角形的面积比求解，易证：△AOD∽△ABE，所以S△AODS△ABE=OD2BE2=13 ，故S△AOD= 32，最后根据三角形面积公式得到AB=2 3

4 巧借面积，求高线

如图5过点O作OD⊥AB于D，连接BO，在△AOB中，

AO=2，h= 3，所以S△AOB= 3.

结合法1的结果和特殊的锐角函数值，

在Rt△AOD中，OD=1，根据三角形面积公式得AB=2 3.

补充 圆的标准方程：

R2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

【基金项目：基于核心素养下的《初等代数研究》课程开发，西华师范大学2018教改项目，项目编号403350】

参考文献：

[1]李志若.与轴对称相关的线段之和最短问题[J].考试周刊.2017（49）.

[2]倪勇.探究折线段差的最大值问题[J].理科考试研究.2015（02）.

[3]张宇石.用三角形三边关系求线段之差的最大值[J].中小学数学（初中版）.2013（09）.

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[5]刘文生.封闭运动法——三角形中的一类线段比问题初探[J].中学数学教学参考.2001（12）.

[6]董学良.“两线段和或差”问题的几种处理方法[J].初中数学教与学. 2008（03）.