因式分解常见方法举例

庞耀光

【摘要】因式分解在初中数学中占据重要地位，其原因是借助因式分解，有利于求解对应方程的实数根或求解对应的不等式问题，也有利于帮助我们准确画出对应函数在坐标系中的图象. 基于此，现通过归类举例解析的形式，对因式分解常见方法加以说明，旨在帮助同学们拓宽解题思维视野，巩固相关知识在解题中的灵活运用能力，提升解题的技能技巧.

【关键词】因式分解;公式法;公因式

因式分解，也叫作分解因式，是指将一个多项式经过适当变形，写成几个最简整式的乘积的形式.因式分解是初中数学中一个特别重要的恒等变形，是我们順利解决许多数学问题（例如：求方程的实数根、求解不等式、画函数的图象等）的有力工具.由于因式分解的技巧性较强，且方法灵活多样，所以本文拟通过举例解析的形式加以具体说明，旨在帮助同学们理解、掌握常用解题方法，拓宽解题思维视野，进一步提高分解因式的技能技巧.

类型1 公式法

运用平方差公式x2-y2=（x+y）（x-y），完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，（x-y）2=x2-2xy+y2，立方和公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2），以及立方差公式x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2），可以直接写出分解因式的结果.

例1 分解因式：a2+4ab+4b2.

解析 将4ab变形写成2×a×2b，同时将4b2变形写成（2b2），于是可得a2+4ab+b2=a2+2×a×2b+（2b）2=（a+2b）2.

类型2 提公因式法

形如am+bm这种类型的式子，可以直接提取公因式分解，即am+bm=m（a+b）.

例2 分解因式：x3+2x2+x.

解析 由于每一个加项均可提取因式x，而且提取公因式之后又便于利用完全平方公式，所以可得x3+2x2+x=x（x2+2x+1）=x（x+1）2.

类型3 十字相乘法

第一种情况：对于二次项系数为1的二次三项式，可利用十字相乘法进行因式分解，

常用结论有：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q），x2-（p+q）x+pq=（x-p）（x-q）.

例3 分解因式：x2+5x+6.

解析 由于二次项x2可分解为x×x，同时常数项数字可分解为2×3，于是可得x2+5x+6=（x+2）（x+3）.

第二种情况：对于二次项系数不为1的二次三项式，可将它分解为两个一次因式的乘积，常用结论：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），其中a=a1a2，c=c1c2，b=a1c2+a2c1.

例4 分解因式：3x2-11x+10.

解析 由于二次项3x2可分解为x×3x，同时常数项数字10可分解为（-2）×（-5），于是可得3x2-11x+10=（x-2）（3x-5）.

第三种情况：齐次多项式分解，将其中一个字母看成常数，转化为二次三项式求解.

例5 分解因式：a2-8ab+12b2.

解析 （方法1）将“b”看成常数，则原多项式可看成是关于“a”的二次三项式（具体可写成：a2-8b×a+12b2），从而可利用十字相乘法进行分解因式.

由于二次项a2可分解为a×a，同时常数项12b2可分解为（-2b）×（-6b），于是可得a2-8ab+12b2=a2-8b×a+12b2=（a-2b）（a-6b）.

（方法2）将“a”看成常数，则原多项式可看成是关于“b”的二次三项式（具体可写成：12b2-8a×b+a2），从而可利用十字相乘法进行分解因式.

由于二次项12b2可分解为2b×6b，同时常数项a2可分解为（-a）×（-a），于是可得a2-8ab+12b2=12b2-8a×b+a2=（2b-a）（6b-a）.

类型4 分组法

如果给定的多项式较为复杂，显然不便于迅速分解因式，那么这时就需要我们灵活运用“分组法”进行分解因式.该方法的关键就是需要将有特点的加项放置在一起，便于利用公式分解，或者便于提取公因式.

例6 分解因式：x2+ax-y2+ay.

解析 注意到x2-y2，可利用平方差公式进行分解因式，同时注意到ax+ay，可提取公因式，于是可得x2+ax-y2+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）.

类型5 配凑法

如果遇到的多项式，不便于直接利用常用方法进行分解因式，那么这时就需要我们在观察多项式外在结构特点的基础上，灵活借助“添项”或者“拆项”技巧，间接地达到巧妙分解因式的目的，这就是所谓的配凑法.

例7 分解因式：x3-3x2+4.

解析 （方法1：拆项法）注意到x3，x2，x0的系数分别是：1，-3，4，所以需要将常数项数字4拆为1+3，便于进行分解因式.

于是，可得x3-3x2+4=x3+1-3x2+3=（x+1）（x2-x+1）-3（x+1）（x-1）=（x+1）（x2-x+1-3x+3）=（x+1）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

（方法2：添项法）注意到x3，x2，x0的系数分别是：1，-3，4，且没有关于x的一次项，所以可通过添项-4x+4x，便于进行分解因式.

于是，可得x3-3x2+4=x3-3x2-4x+4x+4=x（x2-3x-4）+（4x+4）=x（x+1）（x-4）+4（x+1）=（x+1）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

类型6 试根法

通过观察多项式，往往会发现特殊数字0，±1，±2，…，恰好就是这个多项式对应方程的实数根，从而可得该多项式的一个因式，然后再利用“待定系数法”即可求出其余因式，进而达到对原多项式进行分解因式的目的.

例8 分解因式：x3-3x2+4.

解析（方法1）通过观察试验，不难发现x=-1是方程x3-3x2+4=0的一个实数根，所以x+1是多项式x3-3x2+4的一个因式.从而，可设x3-3x2+4=（x+1）（x2+px+q）.

又因为通过展开整理可得（x+1）（x2+px+q）=x3+（p+1）x2+（p+q）x+q，所以x3-3x2+4=x3+（p+1）x2+（p+q）x+q.

从而，根据多项式与多项式相等的条件即得p+1=-3p+q=0q=4，解得p=-4q=4.

综上，可知x3-3x2+4=（x+q）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

（方法2）通过观察试验，不难发现x=2是方程x3-3x2+4=0的一个实数根，所以x-2是多项式x3-3x2+4的一个因式.从而，可设x3-3x2+4=（x-2）（x2+mx+n）.

又因为通过展开整理可得（x-2）（x2+mx+n）=x3+（m-2）x2+（n-2m）x-2n，所以x3-3x2+4=x3+（m-2）x2+（n-2m）x-2n.

从而，根据多项式与多项式相等的条件即得m-2=-3n-2m=0-2n=4，解得m=-1n=-2.

综上，可知x3-3x2+4=（x-2）（x2-x-2）=（x-2）（x+1）（x-2）=（x+1）（x-2）2.

总之，分解因式的常见解法较多，而各种方法的灵活运用，又需要因题而异，所以需要我们在解题实践中不断积累经验，逐步领会、感悟解题真谛，进而提高进行分解因式的能力.