一次函数的图像与三角形面积的综合应用

王照芳

【摘要】由于一次函数的图像（b≠0）是一条不过原点的直线，它与横、纵坐标各有一个交点，那么直线和坐标轴之间就会形成一个三角形.在一次函数的图像和三角形面积一同出现时，要学会将线段长用点与点之间的距离刻画出来.

【关键词】一次函数;综合应用;初中教学

例1 已知直线y=kx+6与两个坐标轴围成的三角形的面积是24，求常数k的值.

解 设直线y=kx+6与两个坐标轴的交点分别为A、B，

令x=0，y=6;令y=0，x=-6k，

所以，得到A、B的坐标分别为（0，6）、（-6k，0），

所以，O与A点之间的距离是：OA=|6|=6，

O与B点之间的距离是：OB=|-6k|.

所以，三角形的面积是：

12OA·OB=12·6·|-6k|=24，

于是，3·|-6k|=24，|-6k|=8， |-6|k=8

6k=8，|k|=34，

所以，k=±34.

例2 已知直线y=-12x+52，求直线与两个坐标轴围成的图形的面积.

解 设直线y=-12x+ 52与x、y轴的交点分别为M、N，

令x=0，y=52;令y=0，x=5，

所以，得到M、N的坐標分别

为（5，0）、（0，52），

画直线y=-12x+ 52，

函数图像，如图1所示.

所以，O与M点之间的距离是：

OM=|5|=5.

O与N点之间的距离是：

ON=|52| = 52.

所以，△MON的面积是：

12OM·ON=12×5×52 =254.

例3 已知一次函数y=kx-4（k<0）的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8，求该一次函数的表达式.

解 设直线y=kx-4与两个坐标轴的交点分别为E、F，

令x=0，y=-4;令y=0，x=4k，

所以，得到E、F的坐标分别为（0，-4）、（4k，0），

所以，O与E点之间的距离是：OE=|-4|=4，

O与F点之间的距离是：OF=|4k|，

所以，三角形的面积是：12OE·OF=12·4·|4k|=8.

于是，2·|4k|=8，|4k|=4， |4k|=4.

4k=4，|k|=1.

所以，k=±1，

因为k<0，

所以，k=-1，

所以，该一次函数的表达式是y=-x-4.

例4 已知直线y=x+3与两坐标轴分别交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB分成面积比为2∶1的两部分，求直线L的表达式.

解 如图2所示，当直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为2∶1时，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、E.

设直线L的表达式为y=kx，

令x=0，y=3;令y=0，x=-3;

所以，得到A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），

所以，O与A点之间的距离是：OA=|-3|=3，

O与B点之间的距离是：OB=|3|=3，

所以，△AOB的面积是：12OA·OB=12×3×3=92.

因为直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为2∶1，

所以，△AOC的面积是：92×23=3，

△BOC的面积是：92×13=32，

因为△AOC的面积=12OA·CF=12×3×CF=3，所以CF=2，

同理可得：CE=1.

因为F点在x轴的负半轴，而E在y轴的正半轴，

所以，C点的坐标是（-1，2），

所以，直线L的表达式是y=-2x，

如图3所示，当直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为1：2时，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、E.

于是，△AOC的面积是：92×13=32，△BOC的面积是：92×23=3，

因为△AOC的面积=12OA·CF=12×3×CF=32，所以CF=1.

同理可得：CE=2.

因为F点在x轴的负半轴，而E在y轴的正半轴，

所以，C点的坐标是（-2，1），

所以，直线L的表达式是y=- 12 x，

综上所述，直线L的表达式是y=-2x或y=- 12 x.