以一道经典例题谈初中数学渡河问题

徐峰

【摘要】数学知识与生活联系十分紧密，在现实生活中很多知识也运用数学知识来求解，尤其是初中数学，与生活更贴近，求解河流的宽度问题是初中数学中十分经典的问题，本篇文章接下来将通过一道例题帮助同学们掌握求解的不同方法，拓展同学们的思维，培养同学们的知识迁移能力.

【关键词】初中数学;拓展思维;渡河问题

例1 如图1所示，一条河流两端有A，B两人欲渡河，试如何通过A，B两人位置求河床的距离？

很明显，当河面的宽度较大时，不能直接测量，此时可以结合图象利用三角形的知识求解.

1 利用全等三角形

用此方法解题的主要思路为：

①构造三角形，以河面宽度作为三角形的一边，并以该三角形的一顶点为起点构造一个新的三角形;

②证明两三角形全等，结合题意，利用证明三角形全等的条件证明两个三角形全等，继而解得河面的宽度.

解法1 如图2所示，在B点所在的河岸选两点O、C，使得C、O、B为同一直线上的三点，且OC=OB，

在C点处作线段CM∥AB，然后在边CM上找出一个点D，使得D、O、A三点在同一条直线上，

即满足判定定理“角角边”，

所以△ABO≌△DCO，

因此，只需要测量出CD的距离即可求得河面宽度AB的值.

2 利用相似三角形

用此方法解题的主要思路为：

①构造相似三角形，根据题意，以河面宽度作为两个相似三角形的一条边，其中河面宽度恰好为一个三角形的一整条边;

②求解河面宽度，利用相似三角形原理，根据相似三角形之间存在的比例关系求解河面宽度.

解法2 如图3所示，在AB所在的直线上取一点D，要求DB的距离适宜，不能太长或者太短，

以A为顶点，找C、E两点，令A、C、E三个点在同一条直线上，且满足BC∥DE，

所以△ABC∽△ADE，

所以ABAD=BCDE，

所以ABAB+BD=BCDE，

因此，只需要分别测量出BC、DE、BD的长度，即可求解出河面的宽度.

3 利用三角函数

用此方法解题的主要思路为：

①构造直角三角形，根据题意，以河面的一点构成直角，以河面宽度作为三角形的直角边构造直角三角形;

②计算求解，通过测量另一直角边的长度和对应的角的度数，利用该角的正切值等于对应的直角边长度除以另一直角边的长度，计算求得河面宽度.

解法3 如图4所示，假定线段AB为三角形的一条直角边，以点B作为直角顶点，作Rt△ABC，

由图象可知，测量出线段BC的长度和∠ACB的度数，进而确定∠ACB的正切值，

因为tanC=ABBC

所以AB=BC·tanC，

因此，只需测量BC的长度和∠ACB的度数即可求解河面的宽度.

4 利用函数图象

用此方法解题的主要思路为：

①建立直角坐标系，根据题设条件建立直角坐标系，并将涉及到的点与坐标原点相连，得到其横坐标或纵坐标值;

②确定点的坐标，结合题意表示出相关点的坐标;

③求解河面宽度，结合题意，利用直线y=kx解得所求线段的两端点坐标，其纵坐标或横坐标之差即为所求的河面宽度.

解法4 如图5所示，过点A、B、O分别作直线OA、OB，

以O点作为坐标原点，平行于AB的直线作y轴，垂直与AB的直线做x轴.

此时，直线AB与x轴相较于D点，

此时可得A、B两点的横坐标，

在直线OA、OB上各取一个点M、N，并表示出此两点的坐标，

利用直线方程y=kx解得分别直线OA、OB的解析式，

因为已知A、B两点的横坐标，将其代入上述直线方程，

所以解得A、B两点的坐标

xA、yA、xB、yB，

所以d=yA-yB，

d=yA-yB即为所求的河面的宽度.

求解河面的宽度问题是初中数学中一个经久不衰的问题，当河面的宽度较大不能直接测量时，就需要同学们转换思维，利用所學的相似三角形，全等三角形，以及三角函数等知识灵活求解，利用函数图象也是初中解题的常用方法之一，同学们要灵活选择，拓展自己的思维.