尊重学生“感觉” 让学习自然发生——以吴正宪老师执教“百分数”为例

●马贞，韩淑娴

吴正宪老师的课清新自然，让学生及听课老师如沐春风，感觉不是在上课，而是师生彼此的吸引与融合、对话与分享。吴老师尊重学生的“感觉”，尊重学生的“原生态”思考，孩子们畅所欲言，敞亮自己的想法，正是这种可贵的想法，让课堂学习自然地发生，孩子的思考深入且深刻。现结合2021年5月吴老师在杭州“千课万人”现场执教的“百分数”，谈一点收获与体会。

【课堂片断】

师：同学们，你们过去学过百分数吗？你能说说对百分数的印象吗？

生1：我认为百分数就是分母为100的分数。

师：挺好！百分数是分母为100的分数。还有吗？

生2：一个数占另一个数的百分之几。（边说边打手势）

师：你那个手势挺好的，你要说什么？

生2：就是这个数占整体的百分之几。

师：这个数占整体的百分之几，你能举个例子说说你心目中的百分数吗？

生3：比如百分之十就是10%。

师：你能具体说说10%表达什么意思吗？

生3：比如说我有100块钱，我拿了10块钱去买一支笔，这支笔花的钱数是总钱数的10%。

师：100元钱，花了10元钱，这10元钱正好占100元的10%，挺好的。

生4：百分数是一个自然数后面跟了一个百分号，所以称为百分数。

师：百分数后面跟着百分号。你会写百分号吗？

师：一个自然数跟了一个百分号就是百分数；也有同学说，百分数就是分母是100的分数；还有的同学提出是一个数占另一个数的百分之几；特别是那个同学举了一个100元和10元的例子，这是你们心目中的百分数。今天，我们继续走进百分数，看能不能打开一扇窗，走进百分数的深处。

【赏析】孩子在进入课堂之前，他不是一张白纸，他有自己的生活经验和“先前”感知，这是孩子学习新知的基础。“你能说说对百分数的印象吗？”“你能举个例子说说你心目中的百分数吗？”“你能具体说说10%表达什么意思吗？”层层递进的问题不断激发学生对百分数的“感知觉”。对这些“原生态”想法吴老师没有“纠结”，而是话锋一转，引领学生继续研究百分数。

【课堂片断】

师：这节课，我们有一个重要任务就是在1号、2号选手中选出一位投篮水平高的人。这些数据，你们看懂了吧，选一号还是二号？

图1

生：（短暂思考）1号。

师：你们突然好像又悟出了什么，听听这位同学怎么说。

生：我感觉是无法确定，题目没告诉我们1号总共投了几次、2号总共投了几次，如果1号比2号投得多，那么投中次数多是理所当然的事。

师：听懂他的意思了吗？开始你们说1号，现在突然又感觉到此时还不好做决定，谁能解释一下？

生：因为他们两人投篮的次数可能不同，比如说2号投了10次，1号投了12次，那就是1号投的次数比2号多，如果1号投10次，2号投12次呢？

师：你就认为——

生：2号投的次数多，所以他可能投中的概率比1号大。

师：什么叫概率大呢？你能举一个特别让同学们一目了然的例子吗？

生：比如说2号一共投10次，投中了5次，那么他投中的概率就是50%。

师：你还想说什么？

生：如果说1号投的次数是10次，2号投的次数是5次，那么2号投中次数是100%，1号投中次数是90%。

师：听懂他的意思了吗？如果我就投5次，5次都中了，这说明了什么？

生：百发百中。

师：我听懂了！你们的意思是此时还不好做决定，需要知道投篮总次数，对吗？

【赏析】如何在1号、2号选手中选出一位投篮水平高的人，孩子们的思维经历了这么几个阶段：看投中次数，看投篮总次数，看投中和投篮总次数。吴老师善于用问题来“吸引”学生：“你们突然好像又悟出了什么？”“听懂他的意思了吗？”“什么叫概率大呢？”“你还想说什么？”问题在对话中展开，经验在对话中分享，思维在对话中提升，聊着聊着就走进了百分数。

【课堂片断】

师：现在我把总次数带来了，你们能快速地算一算谁投中的水平高吗？

图2

师：那我现在问你们，选几号？（2号）为什么不选1号呢？说说理由。

生：因为2号命中率比1号高，2号50%，1号45%。

师：我们就以2号为例，50%表达什么意思？能讨论一下吗?

生：就是投中次数占投篮总数的50%。

师：没有错。也就是表达了投中的次数和总次数之间的什么关系？

生：数量关系

师：什么数量关系？我们拿2号选手来讲，他一共投了多少次？中了几次？那这两者之间有怎样的关系呢？继续说。

生：就是他投中的概率是50%，投两次就会中一次。

师：你们总是在这样解释这个事，你现在是表达了投中的和投篮总数，我问的是它们之间有什么关系。

师：说不上来是吗？我们退回去说，刚才一共是100元，有10元买了东西，10元是100元的10%，那100元就应当是10元的什么？（10倍）10元就是100元的什么？（1/10或10%）能不能说成1/10倍？

生沉默，不敢说。

师：1/10是什么？大家都不敢说，你说是什么？

生：1/10倍。

师：就你勇敢，你为什么敢这样表达？

生：因为100既然是10的10倍，10不就是100的1/10倍吗？

师：我把掌声送给你。你为什么鼓掌啊？你说这10%是什么？就是其中的一部分，和这个总数之间有什么关系？

生：倍数关系。

师：1/2倍不就是50%倍吗？能这么说吗？（能）这个倍数关系我们用百分数表达出来，实际上就是你们刚才讲的2号选手的命中率，讲的就是两个数量之间的倍数关系。

【赏析】“百分数是一种特殊的分数，它只表示两个数量之间的倍数关系。”这个学生不敢说，我们感觉就是从事多年毕业班教学的老师也不太敢肯定，因为在我们的印象里，“数的整除”单元里出现过“倍数”，但都是在整数范围内，称分数为“倍数”关系的确实没怎么听说。吴老师随手拈来“10%”的例子，正过来反过去，突破思维定式，有效强化两者之间的倍数关系。

【课堂片断】

师：我们继续看，又来了两位选手，现在你能把这4位选手的命中率排排队吗？命中率最高的是哪一位？

图3

师：4号选手，这个47.5%表达的是什么？

生：4号选手的命中率比47%要高，比48%要低，在它们中间。

师：也就是表达了4号选手投中的和他总次数之间的倍数关系。我记得你上课的时候说，百分数就是一个自然数后边跟百分号，现在你发现什么了？

生：小数也是可以跟在百分号前面的。

师：看来你给百分数的画像还有点问题，它既可以是整数，也可以是小数。

师：如果要排序的话，第一名是谁？如果再来第二次比赛，还是这4位选手，2号还是第一吗？谁有感觉了？

生：不一定。

师：说说你的理由。（沉默）我们听听同桌的意见，好吗？

生：我认为这个命中率算出来只是他投篮的普遍情况，打个比方，2号在练习的时候是投了两个中了一个，那么他在比赛中不一定能发挥正常，说不定投了三个才中了一个。

师：听懂他的意思了吗？他的意思就是说这50%是上一次比赛2号选手的命中率，如果他再去比赛，说不定命中率会下降，也说不定会上升，那要看当时的情况，对不对？

师：同学们既然认为不一定2号能得第一，那我这次选了你，还有意义吗？这一次练习中你的确得到了第一名的成绩，我们把你推上去了，但是你真的在赛场上不一定得第一啊，那你认为我们做这个统计有意义吗？

【赏析】“百分数就是一个自然数后面跟了百分号吗？”吴老师用事实说话，让孩子们对百分数的认识更进一步。“如果再来一次比赛，2号还是第一吗？”这是一个“好问题”，一石激起千层浪，孩子们遵从内心“感觉”畅所欲言。既然不确定，“那我这次选了你，还有意义吗”？吴老师带领大家“抽丝剥茧”，不断走进百分数深处，这样的课堂讨论深入且深刻。

【课堂片断】

师：它的意义在哪里？不急！四人小组讨论讨论。你们认为这个统计还有意义吗？

图4

生：是有意义的，因为这一次比赛可以分出这一次比赛的名次，这一次比赛你第一，再让你上场你不一定第一，但这次比赛可以做参考，有参考的意义。

师：还有从不同维度讲的吗？

生：我觉得是有意义的，2号他这次是第一，虽然每次不可能都第一，但波动不可能特别大。

师：你的意思说第二次可能不是50%，但是会在50%的上下有小波动，有小波动你们同意吗？

师：这是他想表达的意思，你再来说说。

生：我觉得也是有意义的，因为这代表了这个2号选手的一个普遍水平，他会以50%这个命中率为一条标准线，然后他的水平在这条标准线上下波动。

师：什么叫普遍的水平？

生：正常的水平。

师：请问第3次比赛，他投中的可能是53%、第四次可能是49%，数据越多，这样的一组数据越具有了什么性？

生：准确性。

师：准确性是什么？说明这组数据越来越接近它，那么我们叫稳定性。就是说当我们只比赛一次的时候，可能会有偶然性，再来一次、再来一次、再来一次，我们会发现他很有可能会在50%的左右，基本上是在这个范围内，对不对？

师：那第100次他一定会落在这个区间内吗？你们坚定地说不一定。就是说第100次他可能发挥失常，还有可能超常发挥，没准百发百中呢，但是那种可能性会——

生：比较小。

【赏析】“百分数的统计学意义在哪里？”学生的感觉虽然“直白”但很“靠谱”：“这次比赛可以做参考，有参考的意义。”“虽然每次不可能都第一，但波动不可能特别大。”“会在50%的上下有小波动。”“可能会在50%的左右，基本上是在这个范围内。”这些“原生态”表达虽然“粗糙”，但基本涵盖了百分数的统计学意义。

【课堂片断】

师：刚才第一个同学举的那个例子你们还记得吗？他说100元花了10元，花的就是它的1/10也就是10%，10%表达的是什么？

生：花的钱数和总钱数的倍数关系。

师：那这个50%表达的是什么？

生：投中次数和总次数的倍数关系。

师：你说的倍数关系，我们现在说的也是倍数关系，这里有没有不同？他刚才表达的花去10元是100元的多少？（1/10倍）这个数变不变？（不变）而我们这组数会不断变化，谁有感觉了？

生：有的百分数是会变化的，有的百分数倍数关系是不会变化的。

师：你的意思能再解释一下吗？

生：就是说一个百分数，它的总数如果没有确定，他的大小也是不能确定的。而刚才说那个100和10，这组数据是一定的。

师：现在像投篮的事、比赛的事，这一组组的数据都是会波动的、会变化的，这些数据我们用一个词说都是什么？（不确定）

师：真好！不确定我们也可以说这些数据都是怎么产生的？

生：随机产生的。

师：随机产生的这些数是不固定的，是变化的，那么百分数可不可以对两种随机变化的数量表达倍数关系？

生：可以的。

图5

师：把糖水看成100，糖占50%，固定不固定？我们全班50人，25个男生，男生占全班的50%，这个事变不变？但是今天我们说的这种命中率，这种比赛当中随机产生的数据能不能用百分数来表达呢？

生：可以。

师：百分数能对一组数据的随机现象进行表达，数据越多越稳定。今天我们又打开了一扇窗，这个百分数不仅仅表达了我们过去说的确定的数，也可以是不确定数的随机现象。

【赏析】“同样说的是倍数关系，这里有没有不同？”吴老师总是在不经意间“挑出”问题，这些问题往往又是新知的“核心”。在吴老师的循循善诱下，学生逐渐找到了感觉，明白了有的百分数是会变化的，有的百分数是不会变化的。“感觉”很重要，它是新知的“连接点”与“生长点”，对像“投篮、比赛”等变化的数据进行表达为我们打开了一扇窗，百分数还可以表达不确定数的随机现象。