把握数学概念本质，发展数学核心素养
2022-07-20崔永红
●崔永红
《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）指出：“数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”为此，在数学概念教学中，可以通过信息技术演示、适时问题引领，让学生经历概念的抽象过程，从而把握概念的本质，提升学生直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养。
一、通过信息技术与逻辑推理，把握概念的本质
不少数学概念有其发生、发展的历程，教师要挖掘概念背后深邃的数学思想、方法与文化，揭示概念产生的合理性和必然性，让学生不仅知其然，而且知其所以然，这样学生学习的积极性就越来越高，数学核心素养得到有效提升。
案例1 椭圆的概念
在进行椭圆的概念教学时，让学生用一根细绳和画板动手操作，画出椭圆，然后引导学生观察抽象得出椭圆的概念，但在教学中，学生总有这样的疑问：为什么这样画出的图形是椭圆？怎么想到的？怎么发现椭圆的特征呢？
为了解决学生的疑问，教师利用信息技术动态演示，问题引领，师生合作，取得了较好的效果。
信息技术演示：用一个平面（与圆锥的旋转轴不垂直）将圆锥切开，如图1所示。
图1
师：其截面，如图2所示，这是什么图形呢？
图2
生：椭圆。
师：很好！确实是椭圆。
这一问，让学生产生了认知冲突。这时教师乘势而上，再利用信息技术演示，引导学生观察、分析、交流与讨论。
信息技术演示：在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切，切点为F1、F2，且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2，如图3和4所示。
图3
图4
设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2于P，Q两点，如图5。
图5
图6
师：在图5中，你能得出哪些结论？
学生一时无从回答，在学生的探究无法深入的时候，教师提示。
师：图5中有哪些线段相等？
这时有学生小声讨论，发现了相等的线段。
这个问题真是“雪中送炭”，起到导向、引领的作用，帮助学生找到研究“椭圆”的方向和突破口。
生 1：MP=MF1，MQ=MF2
师：为什么？
生2：因为 MP和 MF1，MQ和MF2分别是上下两球的切线，因为过球外一点所作球的切线的长都相等，所以 MP=MF1，MQ=MF2
师：将上面两式相加，得到
MF1+MF2=MQ+MP=PQ
师：线段PQ的长有何特点？
学生一边观察，不时交流与讨论，教师与学生为伍，一边指导，一边点拨。
生 3：因为 PQ=VP－VQ,而 VP，VQ 分别是两个圆锥的母线的长，是常数，所以线段PQ的长也是常数。
师：即截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数。这就是椭圆的本质特征。至此，你能给椭圆下一个定义吗？（略）
为进一步让学生加深对定义的理解，教师又提出了下面两个问题：
追问1：已知△ABC的周长为20，一条边BC的长为6,则顶点A的轨迹是什么？
追问2：你能用一根长为20厘米的细线在平板上画一个椭圆吗？
教学感悟：在教学中运用信息技术演示用平面将圆锥切开的过程，得到椭圆面，学生自然产生认知冲突：椭圆是怎么定义的？在学生无助时再用信息技术演示，迫使他们深入思考下去，迫使他们认真思考“椭圆”的特征，迫使他们观察、交流、讨论与反思，椭圆概念的产生成为水到渠成、浑然天成的产物，这个概念不是“人造”而是“神造”的。在此基础上，再通过追问1和2进一步引导学生思考，在做中体悟椭圆的本质，加深对椭圆的认识。
二、通过问题引领与数学建模，把握概念的本质
在概念教学中，可以通过设置问题串，引导学生思考与交流，建立数学模型，从而把握概念的本质内涵。
案例2 导数的概念
某市6月2日7时至14时气温变化如图7所示，你会有什么感叹？
图7
生1：12时到14时会让人感到有些闷热。
师:从A时到B时气温变化为15.1，从B时到C时气温变化为14.8。气温变化差不多，使人感到闷热是什么原因呢？
生2：天气热得太快了！前者变化得缓慢，而后者变化得太快。
师：比较气温变化的快与慢，只考虑yC-yB行不行？如不行，还必须考察什么量？
生3：还必须考察xC-xB。
师：那如何比较气温变化的快慢？
生4：可以用单位时间内平均气温来比较。
师：对于上述问题，我们怎样求x=12时的气温呢？
到此，我们就建立了一个数学模型，用瞬时变化率量化变量在某一点处的变化快慢。导数的概念水到渠成，导数的本质就是瞬时变化率。
教学感悟：教学中通过实例由浅入深、由表及里，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，直观认识平均变化率与导数的区别与联系，体会变化率的实际背景。通过问题引领，层层揭示建构数学模型的思维过程和数学知识的内在联系。
三、通过类比归纳与直观想象，把握概念的本质
类比能启迪人们的思维，是数学发现、发明的主要源泉，但类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。
案例3 异面直线所成角的概念
师：如图8，蜗杆与蜗杆的轴线a和b是什么位置关系？
图8
生1：轴线a和b始终是异面直线。
师：如图9，a与b、a与l是异面直线，是否还有什么不同呢？
图9
生2：好像b、l相对于a的“倾斜程度”不同。
师：如图10，平面内直线b、c与直线a相交，我们怎样刻画直线b、c相对于直线a的倾斜的程度呢？
图10
生3：可以过A点作直线c，使c//a，可以用相交直线b与c所成角来表示直线b相对于直线a的倾斜程度。
师：这样表示，所成的角是唯一确定的吗？为什么？
生4：唯一确定，因为过A点作直线a的平行线是唯一的。
师：由于是唯一确定的，因此可以用相交直线b与c所成角来表示直线b相对于直线a的倾斜程度。
生5：过直线b上任一点作直线a的平行线都可以。
师：还有更一般的作法吗？
生6：可以过空间任意一点分别作直线a，b的平行线c，d，用c和d所成角来表示a，b所成角。
师：我们采用的方法是将空间问题转化为平面问题，转化的关键是平移，这种方法在今后的学习中还有很多应用。
于是，学生在老师的指导下，通过类比、合作、探究、归纳发现了异面直线所成角的概念。
教学中始终将数学抽象贯穿于概念产生、发展、应用的过程中，自然生成了异面直线所成角的概念，促进学生养成在生产生活中思考问题的习惯，发展了学生数学抽象的素养[4]。
总之，在遵循认知心理学关于概念获得的相关理论的前提下，要以概念形成方式进行教学设计，让学生经历观察与实验、分析与综合、归纳与概括，感悟概念的产生过程，让数学抽象、直观想象、数学建模等核心素养在潜移默化中得到提升。
