不等式恒成立求参数范围的问题的解法总结与探究*

2022-07-14广东省汕头大学广东省汕头市潮南区砺青中学515135郑灿基

中学数学研究(广东) 2022年12期

关键词：端点切线文科

广东省汕头大学,广东省汕头市潮南区砺青中学(515135) 郑灿基

广东省汕头大学数学系(515063) 韦才敏

1 问题提出

不等式恒成立求参数取值范围的问题常常倍受命题者的青睐,在全国卷高考中频频出现且扮演压轴题的角色,对于学生而言具有较大的难度.以下选取部分近些年全国卷高考真题:

例1(2020年全国卷1卷理科第21题)已知函数f(x)=ex+ax2−x

(1)当a=1,讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0,f(x)≥求a的取值范围

例2(2019年全国卷1文科第20题)已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x,f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;

(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围;

例3(2017年全国卷2卷文科第21题)设函数f(x)=(1−x2)ex.

(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

例4(2016年全国卷2卷文科第20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1).

(I)略.(II)当x∈(1,+∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.

2 知识准备

2.1 洛必达法则

如果函数f(x)与g(x)满足

2.2 函数的凹凸性的定义和定理

(1)定义:如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称此曲线弧在该区间内是凹(下凸)的;如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称此曲线弧在该区间内是凸(上凸)的,相应的区间分别称为凹区间与凸区间.

从图1还可以看到如下几何特征:对于凹(下凸)的曲线弧,其切线的斜率f′(x)随着x的增大而增大,即f′(x)单调增加;对于凸(上凸)的曲线弧,其切线的斜率f′(x)随着x的增大而减少,即f′(x)单调减少.而函数f′(x)的单调性又可用它的导数,即f(x)的二阶导数f′′(x)的符号来判定,故曲线y=f(x)的凹凸性与f′′(x)的符号有关.

图1

(2)判定定理设函数f(x)在区间(a,b)上具有二阶导数.

①如果在区间(a,b)上,有f′′(x)＞0,那么曲线在[a,b]上是凹(下凸)的;

②如果在区间(a,b)上,有f′′(x)＜0,那么曲线在[a,b]上是凸(上凸)的.

3 解法探究

3.1 分离参数法

采用分离参数法,就是将参数分离到不等式的一边,转化为求具体函数的最值问题,但有时分离得到的函数结构较为复杂,需要“多次构造函数,多次求导”,这对学生的逻辑推理,等价转化和数据计算能力有很高的要求.另外,在解题过程中可能在区间端点处出现了型,需要用到高等数学中的洛必达法则.

下面举例说明:

利用分离参数法求解2020年全国卷1卷理科第21题第(2)问.

解①当x=0时,a∈R.

下面再利用分离参数法求解2017年全国卷2卷文科第21题第(2)问.

3.2 构造函数法

(1)端点效应

所谓端点效应法是指:对于∀x∈[a,b],F(x)≥0,且F(a)=0,则必然存在x0∈(a,b).当x∈[a,x0]时F(x)单增,从而有x∈[a,x0]时,F′(x)≥0成立,特别有F′(a)≥0这一必要条件得出参数的范围,然后证明这一范围的充分性,再说明当参数不在讨论的取值范围时不等式不恒成立.

下面利用端点效应法解2017年全国卷2卷文科第21题第(2)问.

解设F(x)=(1−x2)ex−ax−1,x∈[0,+∞),则F′(x)=−ex(x2+2x−1)−a,x∈[0,+∞),F′′(x)=−ex(x2+4x+1)＜0.所以F′(x)在[0,+∞)上单减.(再次求导,研究F′(x)的单调性)所以F′(x)≤F′(0)=1−a(找到讨论的分界点).下面分类讨论:

①若a≥1时,F′(x)≤0,则F(x)在[0,+∞)上单减,所以F(x)≤F(0)=0,符合题意.(肯定).

②若a＜1时,F′(0)=1−a＞0,又当x→+∞时,F′(x)→−∞,所以F′(x)在[0,+∞)上存在唯一的零点x0,当0＜x＜x0时,F′(x)＞0,所以F(x)在[0,x0)上单增,所以F(x)＞F(0)=0,不合题意.(否定).

综上,a的取值范围是a≥1.

点评端点效应法的本质是利用端点处所需满足的必要条件来缩小参数的取值范围,另外还需说明当参数不在讨论的范围内不等式不恒成立.我们还要注意,这种方法往往适合于构造后的函数F(x),其F′′(x)不含参且F′′(x)的符号确定,例如2020年全国卷1卷理科第21题,采用端点效应法求解很容易出现错误的答案.

(2)构造恰当函数,分类讨论

一般地,如果要解决关于ex大于(或小于)一个非超越函数p(x),可以采用作商法,将其转化为p(x)e−x小于(或大于)1,通过[p(x)e−x]′=e−x[p′(x)−p(x)]便可较为容易求出零点,有助于对函数的单调性和极值的进一步分析,避免了需对函数多次求导,达到了化繁为简的目的.

下面构造恰当函数解2020年全国卷1卷理科第21题第(2)问.

3.3 分离函数法

分离函数策略往往需要将问题转化为研究一个较复杂的函数F(x)和一次函数y=ax+b的位置关系.

(1)一般地,若函数f(x)在[x1,x2]是凸函数,且y=f(x)与y=ax+b在左端点x=x1处的函数值相等,则“当x∈[x1,x2]时,f(x)≤ax+b成立”等价于y=ax+b位于曲线y=f(x)在左端点x=x1处的切线位置或其上方,即a≥f′(x1),如图2所示.

图2

(2)一般地,若函数f(x)在[x1,x2]是凹函数,且y=f(x)与y=ax+b在左端点x=x1处的函数值相等,则“当x∈[x1,x2]时,f(x)≥ax+b成立”等价于y=ax+b位于曲线y=f(x)在左端点x=x1处的切线位置或其下方,即a≤f′(x1),如图3所示.

图3

下面利用分离函数法解答2016年全国卷2卷文科第20题第(II)问:

解本题即(x+1)lnx＞a(x−1)在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=(x+1)lnx,g′(x)=lnx+1+＞0,g′′(x)=＞0(x＞1).所以函数g(x)在(1,+∞)单增,且函数g(x)的图像位于其任一点处的切线的上方.如图4所示,又g(x)＞a(x−1)(x＞1)恒成立等价于在(1,+∞)上,y=g(x)的图像恒在直线y=a(x−1)(x＞1)在上方.注意到直线y=a(x−1)过点(1,0),y=g(x)也过点(1,0),曲线y=g(x)在(1,0)处的切线的斜率为g′(1)=2,故a≤2.