建立函数模型 解决实际问题——新课改下数学建模课的教学设计

华南师范大学数学科学学院(510000) 池志阳

华南师范大学附属中学(510000) 刘宇丹

新课标背景下,数学建模素养越发受到中小学教学所重视,不同版本的数学高中新教材均在课程中加入了数学建模课,然而许多一线数学教师从未有上数学建模课的经验,因此,探索新教材中的数学建模课的授课方式和内容就成了当务之急.

在2020年11月28日的广东广雅中学、湖南长郡中学、华南师范大学联合教学研讨活动中,笔者参与了高中数学建模课的同课异构,和广雅中学以及长郡中学的两位任课老师共同探索了新课改下数学建模课的授课内容,课后不少数学教师对笔者的教学设计很感兴趣,人教版高中数学新教材的编审章建跃博士也对笔者设计的数学建模课给予好评.故笔者就数学建模课的教学谈谈个人的看法,欢迎批评指正.

1 课前分析

数学建模与前后教材内容的关联如何?和学生的知识掌握情况是否适配?数学建模课的教学目标又是什么?只有明确了教学内容、学生群体和教学目标,才能有的放矢,更精准地设计教学.

1.1 教材分析

“建立函数模型解决实际问题”选自人教版高中数学教材必修一[1],该内容被安排在基本函数的学习之后,作为函数的应用部分.这种设置一方面可以帮助学生通过函数的实际应用过程加深对函数的认识,另一方面函数知识是数学建模的基础内容,对函数性质的学习有助于促进学生后续对建模思想的理解.学生此前在学习基本函数和函数的性质时穿插了两节函数应用课,初步接触到了“函数模型”这个名词,并练习过几道与“函数模型”相关的应用题.但是在本节课之前,教材中尚未正式提出数学建模的概念,因此本节课是学生真正走进数学建模的第一课.

此外,人教版高中数学教材必修一中明确提到,后续还需要学生小组在班里进行开题报告、课后进行建模研究以及最后进行成果展示,即至少需要3个课时和课后若干时间的自主探究.本文中所探讨的数学建模课仅指代第一节课,不包含后续内容.

1.2 学情分析

普通高中的学生数学基础知识相对扎实,在本节课之前已经比较熟练地掌握了各种基本函数,并能够初步使用简单的函数模型解决数学应用题.但是他们从来未曾自主建构过数学模型,也并不了解数学建模的真正含义.

其次,该年龄段的学生是最具好奇心和主动性的,他们虽然掌握了一些数学基础知识和技能,但在生活中无法将这些知识和技能应用起来,从而产生了数学与生活的割裂感.因此在学习这节课之前,大部分学生心里存在着两个疑惑,一是数学究竟有什么用?二是什么是数学建模,它和我们之前学的数学知识有什么关系?

此外,该年龄段的学生思维活跃,见识较广,传统的基础建模案例可能无法引起他们的注意,因此在数学建模的教学过程中可以选取一些更现代化的、贴近他们当前生活的案例来帮助他们理解建模过程,加深他们的兴趣.

1.3 教学目标分析

《普通高中数学课程标准(2017年版)》[2]指出,通过数学建模的学习,“学生能有意识地用数学语言表达现实世界,发现和提出问题,感悟数学与现实之间的关联,学会用数学模型解决实际问题,积累数学实践的经验.”根据课程标准,我们制定了相应的教学目标.

首先,作为一节概念课,教师应该在本节课中让学生了解数学建模的定义,熟悉函数建模的流程,并且能够按照这个流程对简单的生活问题进行建模——知识与技能目标.

其次,本节课相较于常规数学课而言,更注重数学的应用,因此教师需要让学生在课程中亲身体验建立函数模型的过程,感受数学建模的思想,形成数学化的意识——过程与方法目标.

此外,本节课还承载着更为重要的使命,即通过数学建模课,让学生认识到数学在生活中的广泛应用价值,进而了解学习数学的意义,重拾学习数学的兴趣,不再简单地将数学看作应付考试的科目——情感态度价值观目标.然而,这一目标被许多数学教师所忽略.

事实上,数学建模作为数学核心素养,在教材中的课时却非常有限,这是由于数学建模本质上并非简单的数学技能和方法,而是一种将数学知识和能力推广到生活中的思维方式和素养,因此如何帮助学生产生数学建模的意愿,提升数学建模的兴趣才是本节课的重点.基于这一教学目标,本节课应侧重于数学建模的价值体现,而不仅仅是数学建模的技能传授.

2 教学设计

根据教材的设置、学生的学情以及具体的目标要求,我们设计如下课堂内容:

2.1 引入新知

数学建模是数学应用价值的重要体现,因此对数学建模的引导应紧贴数学的价值.教师可以从“数学有什么用?”这一学生感兴趣的问题出发,延伸出数学在不同领域的价值是经由数学建模而体现的,从而引出数学建模的概念.此后教师可以对数学建模的定义和内容做简单介绍——什么是模型?什么是数学模型?什么是数学建模?并且让学生简单浏览数学建模的流程,帮助学生形成数学建模的初步印象.

2.2 活动探究

在初步了解数学建模的定义之后,教师开始引领学生参与数学建模的活动,在活动的过程中学习数学建模的方法,感受数学建模的价值.

课本上关于数学建模的流程涉及6个环节,其中前两个环节分别是“观察实际情景”和“发现和提出问题”.这两个环节的联系非常密切,因此可以将其合并成一个部分.此外,由于时间有限,本节课难以让学生细致地经历所有环节,故而将重心放在“提出问题”、“收集数据”、“建立模型”这三个环节.后续的“模型求解”以及“结果检验”并非本节课的重点,可以简单略过.

2.2.1 根据实际情形,发现和提出问题

设计分析:数学建模的本质是应用数学方法解决实际问题,然而想要解决问题,首先需提出问题,因此发现问题的过程对于数学建模尤为重要.在真实情境中,如何将看似和数学无关的问题转变成数学问题,就成了数学建模的关键.

具体实施:教师可以选取一些生活化的数学建模案例,比如最近的新冠疫情,各大医学组织纷纷构建了新冠病毒的传播模型,这为抑制病毒传播起到了重要作用.再比如美颜相机,通过分析用户手动调节的大眼和瘦脸比例,拟合出了良好的美颜模型,于是推出一键美颜功能等等.这些案例可以让学生意识到数学不是课本上死板的公式和运算,而是真正深入到我们生活中的重要工具,从而提高对数学建模的兴趣,产生发现问题的意愿.教师也可以在这个环节中引导学生自主提出生活问题,并尝试从数学的角度理解问题,从而帮助学生形成问题意识,提升数学眼光.

最后教师向学生抛出水温案例,明确建模问题:刚泡好的茶水在室温情况下需要多久才能冷却到适合饮用的温度.

2.2.2 分析相关因素,收集相关数据

设计分析:明确问题后,需要分析相关因素并收集相关数据.然而,对于一个陌生的实际问题,学生不知道哪些条件是可以数学化的、哪些条件是有助于解决问题的、哪些条件是可以收集到数据的,这就需要教师引导学生根据自己对问题的理解,分析相关因素,然后从中筛选出主要的影响因素,并查找(收集)数据.比如在水温案例中,要研究刚冲泡好的茶水在室温情况下需要多久才能冷却到适合饮用的温度,即计算降温所耗费的时间.这个时间显然和茶水降温的速度有关,而降温的速度又会受到其他相关因素的影响.

具体实施:教师可以组织学生进行小组讨论,探索与降温时间有关的因素.然后教师引导学生总结讨论的结果,保留其中容易测量、且与温度变化有密切联系的因素,以此作为主要影响因素,进而收集相关数据.由于数据的收集需要准备相应的器材和工具,并花费不少时间,因此这部分内容可以由教师代劳或者直接给出结果(课本上给出了一份水温随时间变化的数据表):室温:25°C,适宜饮用水温:60°C,水温变化数据如表1所示:

表1 水温变化数据

2.2.3 建立数学模型

设计分析:数学模型的建立大致有三种方式,一是通过观察、分析、处理数据,自主建构模型,二是利用数理逻辑方法,自主建构模型,三是引入相关模型,经过组织、调整,建构符合情境的新模型.本节课主要采用第一种方式来建立模型,首先是因为该方法最简单、直接,符合学生当前的学情;其次,该方法可以引入计算机软件辅助处理数据,在数学建模的过程中展现信息技术的价值,开拓学生视野的同时,也提升了学生对信息技术的兴趣.

具体实施:教师可以组织学生对水温随时间变化的数据进行讨论(见图1),分析这份数据之中所蕴含的潜在价值.学生通过分析可能会得到“水温随着时间的变化而越来越低”、“水温下降的速度越来越慢”、“水温变化的趋势不像是一条直线”等观点.教师进而帮助学生总结观点,并启发学生提出可能的数学模型来表示水温的变化规律.学生可能会提出一次函数、二次函数、指数型函数等多种模型来匹配水温变化的规律,这些函数模型都可能部分切合水温的变化规律,那么究竟如何选取正确的模型呢?

图1

教师可以带领学生对比函数模型的变化规律与实际水温的变化规律,排除一些不太符合实际的模型,也可以直接通过计算机软件进行函数模型拟合,进而确定不同的函数模型与数据规律的匹配程度.拟合函数的软件有很多,比如MATLAB、mathematica等等,也可以选择excel工作表进行拟合.在excel工作表中输入数据后,可以生成折线图,并在此基础上选取不同的函数模型一键拟合参数,整个过程非常便捷,方便学生理解和学习.教师一方面向学生展示函数拟合的步骤(有条件的学习可以让学生在电脑或平板上自行操作学习),让学生学习函数拟合的方法和工具,另一方面,教师可以向学生展示函数拟合的结果(见表2),以及呈现不同函数的拟合优度(教师可以在这里向学生普及拟合优度的概念——拟合优度越接近1,代表拟合程度越高,模型越符合数据的变化规律).

表2 几种基本函数模型的拟合结果

在实际的拟合过程中,学生会遇到许多问题,比如是否直接选取拟合优度最高的模型作为最终模型呢?我们通过分析可以得到:在拟合优度为1的三次函数模型中,由于三次项系数为负数,因此随着时间的推移,最终温度会低至负数.同样的,尽管二次函数模型的拟合优度大于指数型函数模型的拟合优度,但是由于二次函数模型中的二次项系数为正数,随着时间的推移,最终温度反而会不断上升.上述两种结果显然是不符合实际的.事实上对于任意数量的有限数据,我们均可以通过高次多项式拟合出拟合优度高达1的模型,但是这种通过盲目提高多项式次数来增加拟合优度的方式并不能真正体现实际问题的变化规律.因此选取的模型必须要结合真实情境,要符合事物的客观发展规律,这也是教师在数学建模课中要向学生传达的一个重要理念.之后,教师还可以组织学生讨论“一次函数模型和指数型函数模型哪一个更符合实际的水温变化规律?”学生在这样的讨论中不断加深对不同函数的理解,也对实际问题中需要考虑的各项因素有了更全面的考虑.最终教师引导学生确定指数型函数模型作为描述水温变化的模型.

如果学生学有余力,教师还可以简单地介绍数学建模的另外两种方法.比如第二种方法,利用数理逻辑方法,自主建构模型:

假设水温变化速率与水温和室温之差成正比,那么令水温为T(t),在t=t0时的温度为T0,室温为H,就可以列出微分方程:T′(t)=−a(T(t)−H),用不定积分的方法可以解得:

当t0=0时,T0= 85,H=25,代入原式得:y=60e−at+25.然后利用数据,拟合出参数,得到最终模型.

该方法对于高一的学生而言还难以理解,但是教师可以通过它向学生表明“直接将现实规律数学化的方法也可以帮助我们建构数学模型”,而不仅仅只能通过分析数据.此外教师向学生展示了高等数学的强大应用,为学生未来学习更高深的数学工具做好铺垫.

第三种方法是引入相关模型,经过组织、调整,建构符合情境的新模型.事实上关于温度变化的模型有很多,其中最基础的是“牛顿冷却定理”,该模型在网上就可以找到:

令此物之温度为T(t),在t=t0时的温度为T0,室温为H,那么就有T(t)=H+(T0−H)e−a(t−t0).将当t0=0时,T0=85,H=25,代入原式算得T(t)=60e−at+25.然后利用数据,拟合出参数,得到最终模型.

这种引入相关模型的方法,可以开拓学生视野,让学生不再拘泥于自身对模型的建构,转而将部分目光投放在“搜寻相关知识和模型,进而转化为符合当前问题情境的新模型”上.这种方法也适合学生当前的学情,有利于培养他们搜索信息、主动探究的能力.

2.2.4 求解数学模型

设计分析:在水温案例中,模型的求解非常简单,只需要明确数学问题:85°C的水在25°C的室温下需要多久才能冷却到60°C?然后将温度y=60代入拟合出的模型,求得结果即可.这部分内容并非本节课的重点,简单带领学生了解即可.

2.2.5 检验结果

设计分析:这部分内容并非本节课的重点,有条件的教师可以在课堂中设置实验,通过实验的方式得到结果,将这结果与数学建模所求得的解相比较.如果结果吻合,则通过检验.如果结果不吻合,则需要分析差异形成的原因,并据此重新建构模型.缺乏条件的教师也可以简单略过.

2.3 课堂小结

课堂小结不仅是对数学建模内容的回顾和总结,更是对数学教育价值观的提炼和升华.

2.3.1 回顾数学建模的实施流程

简单回顾一下本节课的课堂内容和数学建模的实施流程,帮助学生巩固刚刚习得的数学知识和技能,回味刚刚经历的过程和方法.

2.3.2 品味数学的应用价值

如今是大数据的时代,从来没有一个时代像今天这样迫切地需要数学.因此教师应该通过数学建模课让学生深刻感受数学的应用价值,升华学生的数学情感态度价值观.

2.4 作业布置

思考1幂函数模型和对数型函数模型为什么无法直接拟合得到?这两种模型可以直接被排除?如果非要进行拟合,应该怎么做?

思考2如果函数模型求解的结果与实际情况不符,可能有哪些影响因素?

3 设计总结

通过对本节课的教学设计和实施,笔者产生了以下几点思考:

3.1 侧重科普效果

本节课的重点在于引入数学建模的概念,帮助学生形成对数学建模的初步认识,然后通过案例带领学生完整地经历一遍数学建模的过程,让他们对数学建模有一个大概的了解.其主要目的是为了让学生全面地认识数学建模,产生对数学建模的兴趣,并初步形成数学建模意识,为后续正式开展建模活动做好铺垫.

3.2 侧重内容广度

本节课的思路应当更侧重于广度,而非深度.数学建模课的真正意义在于帮助学生使用数学工具解决实际问题,然而许多学生难以从现实问题中抽象出数学问题,他们从来没有想过,一些看似与数学无关的问题都可以用数学的方法进行表示和解决.这并非学生数学能力的不足,而在于数学化意识的缺失.因此,教师需要向学生介绍数学在各个领域中的应用,让学生感受到数学的广泛应用价值,加深对数学学科的理解,形成数学建模的意识,提高数学学习的兴趣,进而完善数学价值观.

3.3 侧重思维活动

本节课应当侧重学生的数学思维活动，数学建模是培养学生数学化思维的重要方式,也是连接数学与实际生活的重要途径.在数学建模过程中夹杂了常规的数学思维和对现实规律的思考,这是有别于学生以往学习数学的经验的.因此,对数学建模的学习并不仅仅在于对建模流程的机械套用,更在于掌握其中的思想方法,提高学生的数学化思维.

3.4 侧重信息技术

本节课应当注重信息技术的介绍,在数学建模的过程中引入适当的计算机工具.通过介绍信息技术在数学建模中的应用,可以开拓学生的数学视野,理解数学工具的强大功能.此外,教师通过本节课对数学软件(例如excel)的演示,教授学生如何通过数据进行函数模型的拟合,这将有利于学生后续数学建模活动的顺利开展.

随着时代的发展,数学建模越来越凸显其重要地位,而对建模课的授课方式也应当跟上时代的步伐.教师应该有效利用现代丰富的信息技术,给学生呈现出贴合实际生活的建模案例,进而充分发挥学生学习数学建模的主观能动性,让学生在建模的过程中培养数学思维、打开数学视野,提高数学素养.