研究编写意图 落实核心素养——以“函数与方程思想的应用”为例

袁芹芹

(陕西省西安市第一中学,710082)

函数与方程思想是数学思想方法中重要的思想方法之一,在整个高中数学教学中或隐或显地出现在教科书的方方面面,对培养学生解决数学问题的能力起到关键作用．本文通过对人民教育出版社A版[2](以下简称人教A版)、北京师范大学出版社版[3](以下简称北师大版)和湖南教育出版社版[3](以下简称湖教版)的《数学(必修第一册)》三种不同版本教科书对函数与方程思想方法的应用进行比较,以期抛砖引玉．

一、 编排比较

首先各版都将函数与方程放在必修第一册幂函数、指数函数、对数函数学习完成之后、二分法之前，作为函数的应用进行编排．

人教A版将“函数与方程”编排在第四章“指数函数与对数函数”中的第5节“函数的应用”(二)中，以“函数的零点与方程的解”为标题展开研究,是在第三章“函数的应用(一)”的基础上，利用所学过的函数研究一般方程的解．二者是并列关系．

北师大版单列一章,放在第五章“函数的应用”第一节，以“利用函数的性质判定方程解的存在性”为标题展开研究,利用函数的性质研究方程的解的存在性．

湘教版与人教A版类似,将“函数与方程”编排在第四章“幂函数、指数函数和对数函数”中的第4节“函数与方程”中，以“方程的根与函数的零点”为标题展开研究,二者是并列关系只是前后位置作了交换．

二、内容比较

人教A版通过设置思考问题:“我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢?”将方程的解的问题转化为利用函数的性质进行研究．

类比二次函数的零点得到一般的函数的零点定义,进一步揭示出方程的根、函数的零点、函数图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,紧接着通过一个具体的二次函数,数形结合,通过观察存在零点时函数图象的特征以及零点附近函数值的变化规律得到函数零点存在定理．

如此建立在学生初中已有的认知基础之上展开的教学，体现了知识的前后联系，能激发学生的学习兴趣，并让学生体会到从特殊到一般的数学思想方法与归纳总结的思想，从而很容易得出三者之间的关系，揭示核心概念．

湘教版则开门见山：“从我们已经知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是该函数图象与x轴交点的横坐标.更一般地求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点.对不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根”.结合一般的函数图象,通过数形结合给出函数零点存在定理.但遗憾的是，教科书自始至终都未提及“函数零点存在定理”这一关键名称．

由课题的关键词,我们知道,是要将方程的根与函数的零点联系起来,进一步通过例题,从方程联立的角度出发，揭示方程的根就是联立两个相应的方程的解，也是两个函数图象交点的横坐标.但关于方程的根、函数的零点、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间的关系并没有总结出具体的结论，需要学生自行总结、归纳结论,对学生的归纳能力提出较高要求．

北师大版通过实例分析:“在初中数学中，我们已经学习了利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况.在这里换一种方法，从函数角度研究如何判定方程x2-x-6=0实数根的存在性”．

按照从特殊一元二次方程与其对应的二次函数的关系入手,到一般的函数零点的定义的过程,揭示方程的根、函数的零点、函数图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,进一步得出零点存在定理,并对定理中“在区间(a,b)内,方程f(x)=0至少有一个解”加以说明,得出结论“所以f(a)f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分条件而非必要条件”．

三、教学设计片段

1.问题引入

问题1求出下列方程的实数根，画出其对应的函数y=f(x)的图象并标出图象与x轴交点的横坐标.

(1)方程x-1=0与函数y=x-1;

(2)方程2x-2=0与函数y=2x-2;

(3)方程x2-x-3=0与函数y=x2-x-3;

(4)方程lnx+2x-6=0与函数y=lnx+2x-6.

思考1(1)方程f(x)=0的根的个数与函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数有什么关系?

(2)方程f(x)=0的根与函数y=f(x)与x轴交点的横坐标有什么关系?

(3)对于上面问题1中的(4),既不会解方程,又不会画函数图象,如何解决呢?

设计意图通过问题与思考题的探究,引导学生得出函数零点的概念．问题1中(4)引出了本节课的主线,且为函数零点的转化作了铺垫．

2.给出定理

思考2由函数零点的概念,你发现函数的零点与方程的根有什么关系?

做一做：根据零点的定义判断对错与填空.(1)任何函数都有零点.( )

(2)函数y=x-2的零点是(2,0).( )

(3)如图1所示,函数f(x)的零点是______.

设计意图通过问题探究,使学生深入理解函数零点的概念,培养数学抽象核心素养．

探究如果函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)f(b)<0,是否一定推出函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点？进一步得到方程f(x)=0在区间内(a,b)有根?若不能,请举出反例.

问题2根据零点的存在性定理判断：

(1)已知函数f(x)在区间[a,b]上,满足f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.( )

(2)已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )

(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上连续并且有零点,则一定有f(a)f(b)<0.( )

(4)已知函数f(x)在区间[a,b]上连续并且f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.( )

设计意图通过问题探究,使学生理解零点存在性定理,提升数学抽象的核心素养．

3.定理应用

例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.

分析设函数f(x)=lnx+2x-6,利用零点存在定理,由f(2)f(3)<0可知,在区间(2,3)内至少有一个零点.容易证明,函数f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点.即相应方程lnx+2x-6=0只有一个实数解.

问题:我们能否有别的解法?

引导学生把函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题解决．令g(x)=lnx,h(x)=-2x+6,进而学生在一个坐标系下画出两个函数图象(如图2).从图象直观看出两函数只有一个公共点,所以方程lnx+2x-6=0只有一个实数解.

方法归纳：函数零点个数的判断方法:对于一般函数的零点个数的判断问题,不仅要用零点存在性定理来判断区间[a,b]上是否有f(a)f(b)<0,还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数:

(1)若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则f(x)存在零点,且在(a,b)上只有1个零点.

(2)若通过构造f(x)=g(x)-h(x),且g(x)及h(x)图象容易作出,则f(x)的零点个数就是函数g(x)与h(x)图象交点个数,通过作图容易得到f(x)零点个数.

设计意图强化函数零点的解决方法，培养学生数形结合、转化与化归等数学思想.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出:数学教材的编写要全面落实立德树人的基本要求，充分体现数学学科特有的育人价值与功能[1].通过对各版本教科书进行深入比较研究,总体感觉不管是哪套教科书都是在专家团队的精心研磨下编写的,各位专家教师都付出了辛苦的努力．因此,我们每一位教师都应配备多套教科书,研读分析,各取所长,扬长避短,以达到更好的教学效果．