大单元视角下单元起始课的教学设计——以三角函数中“任意角”教学为例

尹明霞

(浙江省临海市回浦中学,317000)

单元起始课与传统的章节起始课有很多共同之处,但单元起始课更突出知识内容和研究方法的整体关联性,这就要求在大单元的视角下结合整章及整个单元的教学内容进行课时教学设计.起始课作为知识单元教学的序曲,要解决好“为何学”(即必要性和重要性),“学什么”(即研究内容),“怎样学”(即研究方法)等问题.本文以三角函数起始课——“任意角”的教学设计为例，对此进行探究.

一、创设情境,引出课题

在我们身边有许多运动变化现象,小到电子绕原子核的运动,大到太空中的各种天体的环绕运动.那么,这些运动变化有什么共同的变化规律呢?展示月相变化图,并引导学生感受当月球围绕地球不停地运转时,月相由新月到满月再回到新月不断循环往复的变化规律.

问题1生活中,还有类似的循环往复、周而复始的现象吗?

师生活动:引导学生寻找生活中的各种周期性现象:四季更替,昼夜变化,潮起潮落,圆周运动等等,结合学生的举例,给出周期性的定义.

设计意图在三角函数大单元中,周期现象是研究问题的大背景,它贯穿于三角函数大单元始末.培养学生用数学的眼光去观察生活中的各种周期性现象,让学生感受到数学来源于生活.

问题2用数学的眼光,如何刻画这种变化呢?

师生活动:引导学生思考并回答四个问题:

(1)在数学中一般用什么刻画两个变量之间的关系?

(2)函数的一般研究路径是怎样的?

(3)三角函数的研究思路是怎样的?

(4)到目前为止,我们学过了哪些基本初等函数?这些函数能刻画周期性吗?

小结学过了幂函数、指数函数、对数函数,这些函数都不能刻画周期性,三角函数是刻画周期性的一个重要模型,所以本章来研究三角函数.

设计意图培养学生用数学的眼光去发现问题,分析问题和解决问题.引导学生用函数刻画生活中的变化现象,并在周期性的要求下,让学生在已有函数知识进行分析的基础上,得出引入三角函数的必要性和重要性,并启发学生类比一般函数的研究路径去探讨三角函数的研究内容和研究方法.

问题3三角函数的模型怎样建立?

师生活动:以天体的运转为背景,抽象出圆周运动的模型(如图1、图2，用GGB动图演示),并引导学生分析:圆周运动是一种常见的周期性变化现象,其本质是圆周上点的位置变化.

问题4那么该如何刻画点P的位置变化呢?

师生活动:组织学生讨论探究,分析确定点的位置变化的变量有点P的坐标,还有旋转的角度,学生之间相互补充,教师引导学生分析得知可以借助于角的变化刻画点P的位置变化,从而引出这节课的学习内容——讨论角.

设计意图引导学生用变量的方式描述点P的位置变化,尝试从已有经验出发，寻找不同的变量,并通过分析、比较、验证等方式确定最直观最合理的变量是角,培养学生直观思维、抽象建模的数学素养和辩证严谨的推理能力.

二、复习回顾,引入推广

问题1在初中,角的定义是什么?

问题2当点P无限循环下去的时候,这样角的范围还够用吗?那怎么办?

问题3扩大角的范围,就要先推广角的概念,如何推广?

师生活动:引导学生考虑旋转的三要素,分析得出可以从旋转方向和旋转量两方面进行推广,推广到任意角.并给出任意角的代数形式:α=x°,x∈R.

设计意图在概念的形成过程中,体会类比思想的应用,让学生感受到数与形的内在联系,形成学习方法的一致性.

三、类比探究,定义运算

类比实数的研究内容和方法,研究角的关系和运算.

问题1如何定义两个角相等?相反?

追问1研究了角的关系,那么接下来研究角的什么内容呢?

追问2类比实数的运算,应先研究哪种运算呢?

追问345°+60°=105°,45°+(-60°)=-15°的几何意义是什么?

问题2如何定义两个任意角相加和相减?

师生活动:引导学生探究和类比得到任意两个角相等和相反的概念,通过画图分析,得出其几何意义,从而推广到两个任意角相加的定义,并借助于相反角将角的减法运算转化为角的加法运算.

设计意图通过类比实数的研究路径,自然地联想到角的研究路径.并从角的运算的代数形式中抽象出角的运算的几何意义,培养学生直观想象、数学抽象的核心素养.通过数形结合,类比联想的数学方法,形成角的加法和减法运算的新的认知.

四、类比探究,建立概念

为了方便研究角,有必要将角放在一个统一的标准下讨论.

问题1实数可以放在数轴上研究,那么角可以放在哪里去研究?

问题2在数轴上表示实数,要先规定什么?

师生活动:引导学生类比数轴引入直角坐标系,并建立统一的标准,从而自然地引出象限角的概念.

设计意图通过类比实数放在数轴上,让学生自然地联想到直角坐标系;通过类比实数的位置和正方向的规定,让学生自然地联想到顶点与始边的统一规定.以此体现教学设计的整体性及连贯性.

五、数形结合,形成新知

例1在直角坐标系中作出下列角,并指出分别是第几象限角.

(1)-420°;(2)-140°;(3)1 300°.

反思1任意给定一个角,是否有唯一确定的一条终边与之对应?

反思2反过来,给定一条终边,以它为终边的角是否唯一?

师生活动:学生独立完成,师生共同总结,并结合思考题引导学生观察归纳出结论.

设计意图通过例题教学,及时巩固新知.并通过两个思考题,让学生看到“角确定,终边唯一确定;但终边确定,角不唯一确定.”这个结论,并揭示这个结论形成的原因正是角的周期性,以此体现教学设计的思想的一致性.

探究写出与45°终边相同的角,并试着探讨它们之间的关系.

师生活动:学生自主探究,小组交流,师生共同总结.

归纳总结:所有与45°终边相同的角,可统一表示为:β=45°+k·360°,k∈Z.

推广:所有与α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{β|β=α+k·360°,k∈Z}.

设计意图借助图形直观,可以发现终边旋转周角的整数倍后会回到原来的位置;通过代数的特征,可以发现终边相同的角相差360°的整数倍.再用集合语言表示终边相同的角并推广到一般情况.在此渗透数形结合,从特殊到一般,从具体到抽象的思想方法,发展学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养.

六、运用新知,加深认识

例2在0°～360°范围内,找出与-950°角终边相同的角,并判定它是第几象限角.

师生活动:学生先独立思考,师生共同总结完善解题的一般方法.

设计意图引导学生解决“判定一个角是第几象限角”这类问题的一般方法,培养学生转化与化归的思想方法.

例3(1)写出终边在y轴正半轴的角的集合；

(2)写出终边在y轴负半轴的角的集合；

(3)写出终边在y轴上的角的集合.

设计意图让学生通过应用巩固新知,体会用集合表示方式的不唯一,再一次让学生感受角的“周而复始”的变化规律.

七、 小结反思,归纳提升

通过本节课的学习,收获了哪些新的知识?感受到了哪些数学思想方法的应用(图3)?

(1)新知方面

(2)数学思想方法方面:类比,联系,推广,数形结合,转化与化归等.

(3)我眼中的数学(图4)

《普通高中数学课程标准》(2017年版)提出:“整体把握教学内容,促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展”.本节课从学生已有知识经验出发,通过类比,联想,推广,转化与化归以及数形结合的数学思维和思想方法,引导学生不断地发现问题,提出问题并解决问题.在三角函数大单元背景下,教学中融入数学的研究方法,渗透数学思想方法,使学生学会用数学的眼光思考问题.