求解广义BBM-KdV方程的平均隐式守恒差分格式

王希，何丽，胡劲松

（西华大学理学院，四川成都 610039）

在进行非线性扩散波的研究时，Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程[1−3]

所描述的运动与KdV方程[4]

具有相同的逼近阶，能描述大量的物理现象如浅水波和离子波等而占有重要的地位，对BBM方程式（1）和KdV方程式（2）的数值研究也引起了众多学者的关注[5−16]。作为BBM方程式（1）和KdV方程式（2）推广形式，BBM-KdV方程[17]

（α,γ为实数）是弱非线性色散介质中长波单向传播的重要模型。文献[18−19]通过数值模拟方法证实了BBM-KdV方程的孤波解和行波解的存在性，并讨论了其边界条件的物理意义。文献[17]进一步对BBM-KdV方程式（3）提出了两个二阶精度的数值求解算法。本文继续文献[17]的研究工作，考虑如下一类广义BBM-KdV方程的初边值问题：

其中，u0(x)是一个已知的初值函数，且p≥1为整数。显然，方程式（3）即为当p=1时方程式（4）的特殊情形，所以本文研究更具一般性。问题式（4）—式（6）具有如下守恒律[17]：

其中E(0)均为与初始条件有关的常数。

本文对问题式（4）—式（6）提出了一个具有二阶理论精度的三层平均隐式差分格式，该格式是线性的，数值计算时间也比较节约，并合理地模拟了守恒量式（7），讨论了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收敛性和稳定性，最后进行了数值验证。

1 差分格式及守恒律

差分格式式（8）—式（10）对守恒量式（7）的数值模拟如下：

定理1差分格式式（8）—式（10）关于以下离散能量是守恒的，即

其中，n=1,2,···,N−1。

证明：将式（8）与作内积，由边界条件式（10）和分部求和公式[20]，可得

将式（13）、式（14）代入式（12）后，两端同时乘以τ，然后对n递推可得式（11）。

2 差分格式的可解性

定理2差分格式式（8）—式（10）是唯一可解的。

证明应用数学归纳法。U0由初值条件式（9）确定，再选择一个合适的两层二阶格式先计算出U1，则U0和U1是唯一可解的。假设Un(n≤N−1)唯一可解，现在考虑式（8）中的Un+1，有

将式（15）与2Un+1做内积，由边界条件式（10）和分部求和公式[20]，有

类似式（13），有

又

将式（17）、式（18）代入式（16），整理得

3 差分格式的收敛性和稳定性

定义差分格式式（8）—式（10）的截断误差如下：

证明：由式（7）得：

证明：由式（11），可得

再由离散的Sobolev不等式[20]得：‖Un‖∞≤C。

注：定理3也表明差分格式式（8）—式（10）的解Un以‖·‖∞关于初值无条件稳定。

定理4假设u0∈则差分格式式（8）—式（10）的解以‖·‖∞收敛到问题式（4）—式（6）的解，且收敛阶为O(τ2+h2)。

类似于式（13），有

再由引理1，定理3以及Cauchy-Schwarz不等式，有

将式（22）—（24）代入式（21），整理有：

两边乘以2τ，然后从1到N求和，得

先选择一个合适的两层二阶方法（如C-N格式）先计算出U1，使之满足：B0=O(τ2+h2)2，又

则由离散的Gronwall不等式[20]可得：BN≤T·O(τ2+h2)2，即

再由离散Sobolev不等式[20]，有

4 数值实验

对初边值问题式（4）—式（6）考虑p=3和p=5两种情形进行数值实验。取β=1，γ=0.25，当p=3时，方程式（4）的孤波解为

当p=5时，方程式（4）的孤波解为

需要说明的是，该格式是三层格式，不是自启动的，需要先选择一个其他两层的二阶方法（如：CN差分格式）先计算出具有二阶精度的U1，再利用初始值U0，才可以算出U2，U3，···。在计算中，取初值函数u0(x)=u(x,0)，固定xL=−40,xR=60,T=20。就 τ和h的不同取值对数值解和孤波解在几个不同时刻的l∞误差见表1；格式对守恒量式（7）的数值模拟En见表2。

表1 数值解和孤波解在不同时刻的l∞误差

表2 格式对守恒量式（7）的数值模拟En

5 结论

本文对一类带有齐次边界条件的广义BBMKdV方程的初边值问题式（4）—式（6）进行了数值方法研究，提出了一个三层平均隐式差分格式式（8）—式（11），该格式是无条件稳定的。从表1可知，本文的格式明显具有二阶精度；从表2可以看出，数值式格式对原问题的守恒性质式（7）也进行了合理有效地模拟。所以本文数值求解方法是可靠的。更为重要的是，它是线性化格式，数值求解时都不需要迭代，所以计算时间相对比较节约。