一类带阻尼项和记忆项的波动方程解的破裂

杜嘉仪，明森，麻雅娴，杨婕

（1.中北大学数学系,山西太原 030051；2.中北大学大数据学院,山西太原 030051）

本文研究如下带散射阻尼项和组合记忆项的波动方程的初边值问题

其中Ω=B1(0)是Rn中的单位球，Ωc=RnB1(0)，µ(1+t)−αut(µ>0，α>1)为散射阻尼项，Nγ,p,q(u,ut)=为组合记忆项，0<γ<1，cγ=1/Γ(1−γ)，p，q>1。u0(x)∈H1(Ωc)，u1(x)∈L2(Ωc)为非负光滑函数，且不恒等于0。supp{u0(x),u1(x)}⊂BR(0)={x∈Ωc||x|≤R}，R>2，ε>0为任意给定的参数。

近来，很多学者研究非线性波动方程解的破裂现象及其生命跨度的上界估计[1−14]。文献[1−3]研究了外区域上变系数波动方程utt−∂i(aij(x)∂ju)=f(u,ut)的初边值问题，其中f(u,ut)=|u|p或f(u,ut)=|ut|p。利用Kato引理得到解会在有限时间破裂以及解的生命跨度的上界估计。文献[4]利用检验函数方法证明了外区域上二维波动方程utt−Δu=|u|p的解会破裂。并且在次临界与临界时得到解的生命跨度的上界估计。文献[5]运用Kato引理在Rn中建立了带组合非线性项的波动方程utt−Δu=|ut|p+|u|q解的生命跨度的上界估计。文献[6]研究了带散射阻尼项的波动方程utt−Δu+µ(1+t)−βut=|ut|p+|u|q(β>1)的Cauchy问题，利用迭代方法得到解的破裂及其生命跨度的上界估计。文献[7]证明了带尺度不变阻尼项µ(1+t)−1ut的波动方程解的生命跨度的上界估计。文献[8]研究了带幂次记忆项的波动方程utt−Δu=的小初值问题，得到其解具有临界指数p0(n,γ)。当n=1时，p0(n,γ)=∞；当n≥2时，p0(n,γ)是二次方程−(n−1)p2+(n−2γ+3)p+2=0的正根。文献[8]运用迭代方法证明了次临界与临界情形问题不存在整体解，并且得到解的生命跨度的上界估计。文献[9]在一维情形证明了外区域上带幂次记忆项的波动方程的解会在有限时间破裂，但未得到解的生命跨度波估动计方。程文献[10]证明了带弱阻尼项和记的忆项初值的问题的解会破裂，但未给出解的生命跨度估计。其他相关研究见文献[11−14]。

关于外区域上带散射阻尼项和组合记忆项的波动方程的初边值问题尚无研究结果。因此，本文拟利用检验函数方法和迭代方法研究问题(1)解的破裂性态。主要结果如下。

定理1令n≥2，p>1，1

其中C是与ε 无关的正常数。

定理2设n=1，p>1，q>1.若问题(1)的解u满足suppu⊂{(t,x)||x|≤t+R}，则解的生命跨度估计为

定理3令n≥2，p>2(n+1−γ)/(n−1)，1

注1定理1中q<2n/(n−2)(n≥2)满足记忆项的可积性。

注2本文在n≥3，n=2，n=1时分别选取不同的检验函数φ0(x)，利用迭代方法证明了初边值问题不存在整体解以及解的生命跨度的上界估计。将文献[1−3]中利用Kato引理研究的变系数波动方程的初边值问题推广为带散射阻尼项和记忆项情形。将文献[6]中带组合非线性项的波动方程推广为外区域上带组合记忆项的情形。将文献[8,10]中证明的带幂次记忆项的初值问题推广为带散射阻尼项和组合记忆项的初边值问题。将文献[9]中研究的一维初边值问题推广为带散射阻尼项和组合记忆项的情形，并建立解的生命跨度的上界估计。另外，通过比较可知，(4)式中的生命跨度估计优于(2)式中的生命跨度估计。

下面给出定理证明时需用到的引理以及问题(1)弱解的定义。

引理1[1−3]存在常数C，C1，C2>0及函数φ0(x)∈C2(Ωc)使得

当n≥3时，φ0(x)→1(|x|→∞)，且0<φ0(x)<1，∀x∈Ωc。

当n=2时，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且0<φ0(x)

当n=1时，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且C1x<φ0(x)

引理2[6]设

则有Δφ1(x)=φ1(x)，φ1(x)|∂Ωc=0，0<φ1(x)<其中C为正常数。

令Φ(t,x)=e−tφ1(x)，则有∂tΦ(t,x)=−Φ(t,x)，

引理3[1]令n≥1，p>1，p′=p/(p−1)，常数C>0.则对∀t≥0，有

引入乘子m(t)=exp(µ(1−α)−1(1+t)1−α)，可知

令

1 定理1的证明

在式(5)中令φ(t,x)=φ0(x)，利用引理1，并且等式两边对t求导，则有

两边同乘以m(t)，可得

结合(6)式，计算得到

由(8)式可知

利用Holder不等式，得到

根据引理1可得，当n≥3时，

另一方面，运用式(8)可知

类似于文献[6]中引理3.1和引理4.1的证明过程，得到

利用式(12)、引理3及Holder不等式，则有

结合式(11)和式(13)，可得

下面运用迭代方法计算。假设

利用式(15)—式(17)，可得

(2)n=2时，将式(15)代入式(10)，得到

所以

类似于n≥3情形的计算过程，可得T(ε)≤

2 定理2的证明

类似于定理1的证明过程，可得式(14)。假设

所以

3 定理3的证明

t充分大时，由式(14)可知，注意到p>2(n+1−γ)/(n−1)时，n+2−γ−(n−1)p/2<1。故线性增长优于(14)式的增长。

利用式(7)得到

结合(6)式，则有

(1)n≥3时，结合式(10)与式(20)，可知

假设

将式(21)代入式(10)，则有

将式(21)代入式(10)，可知

类似于n≥3情形的计算过程，得到T(ε)≤