基于状态空间分割非重复抽样的电力系统可靠性评估方法

2022-07-11高泰路曲丽萍崔文超

北华大学学报（自然科学版） 2022年3期

高泰路，曲丽萍，张杰，刘斌，崔文超

(北华大学电气与信息工程学院，吉林吉林 132021)

随着国民经济的快速发展，对电力系统的要求越来越高.近年来，国内外多次爆发大规模停电事故，造成了巨大的经济损失，严重影响了人们的正常生活[1].为使电力系统的综合效益达到最佳，就必须对电力系统进行切实有效的可靠性评估.目前，电力系统可靠性评估方法大致分为解析法与蒙特卡洛法两种[2].解析法计算较为准确，模型便于理解，然而随着系统中元件数量的增多，其计算量呈指数规律急剧增长，因此，该方法只能应用在小型系统的可靠性分析中[3]；蒙特卡洛法是通过随机试验得到整个系统状态，但因计算量与元件数量关联性不强，特别适合分析大型系统的可靠性，不足之处在于需要通过长时间的模拟计算获得较高精度的可靠性指标，因此，需要利用各类方差减小技术来提升收敛速度.常见的方差缩减技巧有分散抽样法、自适应抽样法、对偶变数抽样法等[4].文献[5]提出能够对系统状态空间概率分布进行优化的自适应重要抽样技术，但抽样密度初始值的构造受系统性质约束，当系统可靠性较高时，该技术会使抽样效率降低；文献[6]结合重要抽样与拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling，LHS)的优势，提出改进拉丁超立方抽样法，但抽样时大量状态可能被重复抽取，进而增加了计算量；文献[7]提出自适应分层重要抽样算法，但抽样过程较为烦琐，不可能大面积推广使用；文献[8]将系统状态空间划分为无故障部分和所有阶次的故障部分，依据各部分特点，采用不同的评估方法进行分析，但即使得到较好的评估效果，也不能防止对相同状态的重复采样.

针对利用蒙特卡洛模拟法进行电力系统可靠性评估时，存在抽样次数多、计算精度低、系统状态重复抽样的问题，本文提出基于状态空间分割非重复抽样的电力系统可靠性评估方法.该方法利用重要抽样确定重要状态子空间，进而划分系统状态空间，并利用解析法计算精度高的优势，实现对重要状态子空间可靠性指标的高效求解.对非重要状态子空间采用状态筛选与重要拉丁超立方抽样法相结合的电力系统可靠性评估方法，既能防止对系统相同状态的重复抽取，还可以提高计算精度，达到改善取样效果，降低抽样方差的目的.

1 重要拉丁超立方抽样法

1.1 非序贯蒙特卡洛模拟法

非序贯蒙特卡洛法是通过对系统中若干个元件的状态进行取样来获取整个系统的状态.假定电力系统由n个电气元件构成，则系统状态X可以用n维向量来表示，即

X=[x1，x2，…，xi，…，xn]，

(1)

式中：xi为元件i的运行状态.xi用[0，1]区间均匀分布的随机数ri来模拟，即

(2)

式中：pi为元件i处于故障状态的概率.则xi的概率分布表达式P(xi)为

由于不同电气元件的故障状态是相互独立的，故系统的联合概率分布函数P(X)表达式为

若系统状态函数用F(X)表示，那么系统可靠性指标数学期望和方差分别为

(3)

(4)

式中：Ω代表系统状态空间.依据概率论与数理统计的相关知识，可将样本均值作为期望值的无偏估计，即

(5)

(6)

在可靠性评估中，收敛判据通常以可靠性指标的方差系数β为标准.方差系数β的表达式为

(7)

整理式(7)可知，非序贯蒙特卡洛模拟法所需的抽样次数为

(8)

分析式(8)可知，当方差系数β一定时，抽样次数N与系统状态函数的方差V(F(X))成正比.因此，在满足一定抽样精度的条件下，减少N仅能够通过降低V(F(X))来实现.

1.2 重要抽样法

重要抽样法是最有效的改进蒙特卡洛法的手段之一，其主要思想是能够对所给定的概率分布进行修改，还可以使原有样本期望值不发生改变，以此来达到减少模拟时间与缩减方差的目的.

首先将式(3)中的分子与分母分别乘P*(X)，从而可得到可靠性指标的数学期望

(9)

令F*(X)=F(X)P(X)/P*(X)，则有

(10)

式中：P*(X)为最优概率分布函数；F*(X)为系统在该分布函数下的状态函数，F*(X)的方差为

(11)

如果式(11)中的P*(X)满足P*(X)=F(X)P(X)/E(F(X))的条件，则

V[F*(X)]=0

(12)

由式(12)分析可知：如果能够用P*(X)代替P(X)进行抽样，那么将抽样方差减小到0是可以实现的，故重要抽样法的关键是将最优概率分布函数P*(X)构造出来.由于满足式(12)的P*(X)很难直接构造，但可以看出，P*(X)与P(X)满足一定的比例关系，故令P*(X)=mP(X)，m为比例常数，从而将P*(X)的构造问题转化为m的求解问题.

定义元件i的最优概率分布函数为

(13)

式中：k为最优乘子；fi为系统中第i个元件的强迫停运率；xi为第i个元件的状态变量.由于P*(X)=mP(X)，则

F*(X)=F(X)/m，

(14)

(15)

抽取系统中所有元件的状态，利用式(15)求解m，将得到的m值代入式(14)求解新的状态函数值，所求结果取多次抽样后的均值.

在上述求解步骤中，k的选取不宜过大.文献[9]给出了最优乘子k的取值范围一般介于1～2，在本文中最优乘子k的初值定为1.1.文献[10]、[11]给出了最优乘子k的计算公式，对于给定的电力系统，n1是系统在抽样过程中处于停运状态的元件数量，n0是系统在抽样过程中处于正常状态的元件数量.设β0=n1/(n0+n1)，则最优乘子k可以计算得到

(16)

其中：

(17)

1.3 重要拉丁超立方抽样法

拉丁超立方抽样法属于分层抽样技术，因此，它能够对输入概率分布进行分层，故能够更改非序贯蒙特卡洛模拟法的抽样方式.该方法既具有均匀分层的特性，还可以避免数据截尾的情况.

基于以上两种抽样方法的优点，本文将重要抽样法与拉丁超立方抽样法相结合.首先，利用重要抽样确定最优乘子k，以此来构造P*(X)的近似函数；随后，对构造的函数进行拉丁超立方抽样，根据拉丁超立方抽样法的要求，按照抽样次数N将[0，1]区间等分为N个不重叠的子区间，分别从N个子区间内抽取系统状态，直到系统的状态被全部抽完[6].

2 状态空间分割非重复抽样法

2.1 状态空间分割非重复抽样法的基本原理

图1状态空间可靠性指标求解Fig.1Calculation of state space reliability index

图2重要状态子空间可靠性指标计算流程Fig.2Calculation flow of important state subspacereliability index

图3非重要状态子空间可靠性指标计算流程Fig.3Calculation flow of non-important statesubspace reliability index

在电力系统中，不同元件(如发电机、线路、变压器)对电力系统可靠性的影响是不同的[12].因此，本文方法首先采用重要抽样确定重要元件，进而确定系统的重要状态子空间，采用解析法高效计算重要状态子空间可靠性指标.采用重要拉丁超立方抽样法与状态筛选法确定非重要状态子空间，在LHS的过程中进行两次状态筛选：第1次筛选，判断是否为重要状态，若是重要状态，则无须重复抽样，放弃分析；若不是重要状态，则需进行第2次筛选.第2次筛选，筛选的是非重要状态，若该状态之前已经抽到过，则将其淘汰；若该状态之前没有抽到过，则将其列入非重要状态子空间.筛选结束后，求解非重要状态子空间可靠性指标.状态空间可靠性指标求解见图1.

2.2 重要状态子空间ΩZ的确定及可靠性指标求解方法

假设元件强迫停运率的偏移程度向量θ=[θ1，θ2，…，θn]，则第i个元件强迫停运率的偏移系数θi为vi与ui的比值，其中：vi为元件i的修正强迫停运率；ui为元件i的原始强迫停运率.θi值越大，元件i对系统可靠性指标的影响程度越大，故将元件强迫停运率偏移系数较大的R个元件记为重要元件，通过重要元件的求解方法确定重要元件集Z.

对系统的某一个s(s≤R)阶状态而言，如果其状态分量取值为1的状态均在重要元件集内，则将该状态定义为系统的s(s≤R)阶重要状态，由所有重要系统状态组成系统的重要状态子空间ΩZ[12].ΩZ的确定方法：

1)利用重要抽样求解系统中各元件的修正强迫停运率与系统的最优概率分布函数.

2)求解各元件强迫停运率的偏移程度，确定系统的重要元件集Z，最后确定系统重要状态的最高阶数H(H≤R).

3)基于深度优先搜索遍历方法，遍历系统中不大于R阶的所有故障状态；随后筛选出系统中阶数不超过H的重要状态，共计NZ个，由上述状态构成的集合为系统的重要状态子空间.重要状态子空间可靠性指标计算流程见图2.

2.3 非重要状态子空间ΩY的确定及可靠性指标计算方法

非重要状态子空间采用本文所提出的状态筛选与重要拉丁超立方抽样相结合的方法来确定.以可靠性指标电力不足概率(LOLP)的计算为例，分为两个步骤：

步骤Ⅰ.通过重要抽样求解出系统中各元件修正强迫停运率与系统的最优概率分布函数P*(X).

步骤Ⅱ.对于修正后的P*(X)进行拉丁超立方抽样，在采样过程中进行两次状态筛选，并计算可靠性指标LOLP.非重要状态子空间可靠性指标求解流程见图3.

2.4 系统状态空间可靠性指标计算方法

(18)

求解系统状态空间可靠性指标方差系数时，因为ΩZ内的系统状态是确定的，无须进行抽样，故系统状态空间可靠性指标方差系数仅由ΩY来决定.

3 算例分析

本文不探讨各元件间出现故障的情况，仅研究元件出现独立故障的情况.以IEEE-RTS系统为例说明文中所提方法的可行性.该系统含有32台发电机与38条线路，总装机容量3 405 MW，年最大负荷2 850 MW，最大发电负荷为2 902.5 MW[13].计算平台基于Windows 10 64bit，配置为Intel(R)Core(TM) i7-6500U CPU @ 2.50 GHz 2.59 GHz与8.00 GB RAM.系统接线见图4.

图4IEEE-RTS系统接线Fig.4IEEE-RTS system wiring

本文程序在MATLAB的matpower工具箱中编写，负荷削减采用以切负荷量最小为目标的最优直流潮流模型.利用本文所提方法(简称方法Ⅲ)对IEEE-RTS系统与修改后的IEEE-RTS系统发输电部分进行可靠性评估.可靠性指标选用LOLP与EPNS，收敛判据选用EPNS的方差系数βEPNS.同时，将本文方法的计算结果与重要拉丁超立方抽样法(简称方法Ⅱ)和常规LHS方法(简称方法Ⅰ)的计算结果进行比较.为避免偶然因素，减少仿真误差，对于相同的方差系数可靠性评估结果取3次评估后的算数平均值.

3.1 IEEE-RTS系统可靠性评估

表1给出了在不同计算精度下，利用上述3种算法仿真得到的LOLP、EPNS和各自抽样所用次数以及其他方法抽样所用次数与方法Ⅰ抽样所用次数所占百分比rN.

表1 相同精度下3种方法可靠性评估结果Tab.1 Reliability evaluation results of the three methods at the same accuracy

表1(续)

由表1可见：在相同的计算精度(方差系数βEPNS)要求下，方法Ⅲ的抽样效率相比方法Ⅰ与方法Ⅱ有明显提高.当β≤0.04时，方法Ⅱ所用计算量约为方法Ⅰ的80%左右，本文所提方法Ⅲ所用计算量约为方法Ⅱ的3/4.由此表明，所提方法在运用状态空间分割思想后充分发挥了状态筛选与解析法的双重优势，能够在方法Ⅰ和方法Ⅱ的基础上加快可靠性评估速度，提升计算效率，改进算法具有高效性.

图5方差系数βEPNS随抽样次数的动态变化Fig.5Variation of βEPNS in sampling process

图5为上述3种方法的方差系数βEPNS随抽样次数动态变化曲线.由图5可知：当方差系数βEPNS一致时，方法Ⅰ、Ⅱ抽样所用的次数显然比方法Ⅲ要多；当抽样次数逐步增多时，方法Ⅲ相比方法Ⅰ、Ⅱ最先收敛；当抽样所用的次数一致时，方法Ⅲ的可靠性评估速度最快，而且其方差系数βEPNS最小.方法Ⅲ可以保证在较高计算精度的前提下，避免对相同状态的重复抽取，加快可靠性的评估速度，进而提升计算效率.

3.2 修改后的IEEE-RTS系统可靠性评估

因IEEE-RTS系统中发电机组出现故障的概率较大，线路元件出现故障的概率偏低，故根据中国可靠性管理中心发布的数据并结合我国电力系统的实际运行情况，将IEEE-RTS发电机组的故障概率统一乘以0.5，系统中线路元件的故障概率扩大10倍[14].对修改后的IEEE-RTS系统采用方法Ⅱ与方法Ⅲ进行可靠性评估，表2为在不同计算精度下，利用上述两种不同算法计算得到的LOLP、EPNS和各自抽样所用次数与相应的仿真时间.