一道“希望杯”赛题的变式及探索

马运强 李士成

【摘要】本文介紹一道28届“希望杯”初三2试试题.

【关键词】几何试题;一题多解;解题训练

题目如图1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC上，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=BD.有以下四个结论：

（1）AE=EC;

（2）∠ACE=∠ABE;

（3）∠AEC=∠BCE;

（4）BE是∠ABC的角平分线.

其中，结论成立的个数是（）

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

（第28届“希望杯”初三2试）

证明延长AE和BC相交于点F，如图2所示.

在Rt△ACF与Rt△BCD中，

所以△ACF≌△BCD.

即AE=EF.

从而Rt△AEB≌Rt△FEB，

故BE是∠ABC°的角平分线，故④成立.

在Rt△ACF中，点E是AF的中点，则

AE=EF=EC，

即①成立.

由上证明知∠EAC=∠ACE，

∠EFC=∠ECF=90°-22.5°=67.5°，

在Rt△ADE和Rt△DBC，

∠AED=∠ACB=90°，

∠ADE=∠BDC，

所以∠EAC=∠EBC.

故∠EAC=∠EBC=∠ABE=∠ACE=22.5°，

即②成立.

∠AEC=2∠EFC=2×67.5°=135°，

∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+22.5°=112.5°，

所以∠AEC≠∠BCE，即③不成立.

综上知，上述结论中的①，②和④成立，共3个.

故选（C）.

变式如图3，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE的延长线于点D.则以下结论成立：

（1）CD=BD;

（2）AE=2BD;

（3）∠AC+CE=AB;

（4）∠ADC=45°.

下面给出第（2）小问的五种解法.

分析要证一条线段是另一条线段的2倍，可以考虑将短线段加倍，或将长线段取半，再证明构造后的线段与另一条线段相等.

解法1如图4，延长AC，BD交于点F.

在Rt△BCF与Rt△ACE中，

所以Rt△ACE≌Rt△BCF，

所以AE=BF.

又因为AE平分∠BAC，且AE⊥BD，

所以BD=DF，

即BF=2BD，

所以AE=2BD.

解法2如图5，延长AC，BD交于点F，作FG⊥AB，

因为∠ACB=90°，

AD⊥BD，

所以点E是△ABF的垂心，由已知得

∠ACB=∠BCF=∠FGB=90°，

又∠BAC=∠ABC=45°

所以∠GEB=∠CEF=∠CFE=45°，

所以CE=CF，下同解法1.

解法3如图6，取AE的中点G，连接CG，

在△ABF中，AE平分∠BAC，

且AE⊥BD，

所以BD=DF.

又∠ACB=90°，

易证∠CGD=2∠CAG=∠ABC=45°.

又∠ACB=90°，AD⊥BD，

所以∠ACB=∠ADB=90°，

所以A，B，D，C四点共圆，

所以∠CDA=∠ABC=45°，

∠CGD=∠CDA，

即CG=CD，

所以AE=2CG=2CD=2BD.

解法4同解法3，易证

△BDG≌△ADE，

所以AE=2AG=2BD.

解法5如图7，延长AC，BD交于点F，延长BC到点G，使CG=BC，易证Rt△ABC≌Rt△AGC，

所以AB=AG，

∠ABC=∠G=∠BAC=45°.

由∠ACB=90°，AD⊥BD，

易得∠CAD=∠CBF，

又∠CAG=∠ABC，

AC=BC，AG=AB，

所以△AGE≌△BAF，

所以AE=BF，

在△ABF中，AE平分∠BAE，

且AE⊥BD，

所以BF=2BD，

所以AE=2BD.